MaTeMaTiKa

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

1. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su jednako udaljene od datih tačaka A i B.

2. Dat je ugao xOy. Konstruisati sve tačke u ravni koje su jednako udaljene od krakova datog ugla.

3. Kroz datu tačku M konstruisati pravu n koja je normalna na datoj pravoj p.

4. Data je tačka O. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od tačke O udaljene 2 cm.

5. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su 3 cm udaljene od date prave p.

6. Data je duž AB = 5 cm. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od date duži udaljene
manje od 2 cm.

7. Data je prava p i tačke A i B van nje. Na pravoj p konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

8. Data je kružnica k i tačke A i B van nje. Na kružnici k konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

9. Dat je trougao PQR i tačke A i B van njega. Na stranicama trougla PQR Konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

10. U ravni su dati prava p i tačka M. Korišćenjem samo šestara konstruisati tačku N koja je simetrična sa M u odnosu na p.

11. Dat je kvadrat ABCD i tačka M. Koristeći samo lenjir (tj konstruišući samo prave) konstruisati tačku N koja je simetrična sa M u odnosu na pravu AC.

12. Prave p i q seku se van ravni crteža u tački O. Konstruisati simetralu ugla pOq.

13. Data je kružnica k i van nje tačke A i B. Koristeći samo šestar (tj. konstruišući samo krugove) konstruisati presek kružnice sa pravom AB.

14. Date su tačke P i Q i prava s. Konstruisati ugao POQ, ako se zna da je data prava s njegova simetrala.

15. Data je prava p i sa iste strane prave p date su tačke A i B. Na pravoj p Konstruisati tačku M tako da je zbir rastojanja AM + BM najmanji moguć.

16. Na pravougaonom bilijarskom stolu ABCD nalaze se dve loptice M i N. Kako treba udariti lopticu M da bi posle jednog (dva, ili tri) odbijanja udarila lopticu N.

17. Dati su trougao ABC i duž MN. Konstruisati duž PQ koja je jednaka i paralelna sa MN,
tako da tačke P i Q pripadaju stranicama trogla ABC.

18. Dat je ugao xOy i tačke A i B u njemu. Konstruisati tačku M na kraku Ox i tačku N na kraku Oy tako da je duž MN jednaka i paralelna sa AB.

19. Jednakokraki trouglovi ABC i MNP konstruisani su tako da osnovice BC i NP leže na istoj
pravoj p. Konstruisati pravu q paralelnu sa p tako da odsečci prave q unutar datih trouglova budu jednaki.

20. Data je duž AB i tačka C van nje. Konstruisati kružnicu k koja sadrži kroz tačke A, B i C.

APSOLUTNA VREDNOST

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Izračunati vrednost izraza A = la+3l + la-3l + la-1l, ako je a = - 10 .

2. Ako je x = -6 izračunaj vrednost izraza (2 lxl + x):3 + lxl + x .

3. Za x = -1 i y = -5 izračunaj vrednost izraza: lx-yl + 2 lyl - (x+y) .

4. Izračunati sumu: l1-2l + l3-4l + l5-6l + ... + l1998-1999l + l1999-2000l.

5. Odrediti odstojanje tačaka A(3), B(-7), C(-2), D(0) od tačke: a) R(0) ; b) Q(-5); c) R(5) .

6. Rešiti jednačine: lxl = 9 ; lxl = 0 ; lxl = - 3 .

7. Rešiti jednačine: lxl - l-5l = -2 ; lx:2l = 1 + l-3l .

8. Odrediti sve tačke koje su od tačke A(3), B(-5) i C(0) udaljene za 2.

9. Rešiti jednačine: lx-3l = 2 ; lx-1l + 4 = l-3l ; 2lx+2l - 3 = 7 .

10. Rešiti jednačine: 14 - lx+3l = 9 ; lxl + 3 = 5 ; lxl - 12 = 9 .

11. Rešiti nejednačine: lxl <> 2 ; lxl >= -4 ; lxl < -1 .

12. Rešiti nejednačine: lx-2l < 3 i lx-2l > 3. Napraviti razliku skupova njihovih rešenja.

13. Rešiti nejednačinu 3lx+2l + 23 =< 47.

14. lzračunati zbir rešenja jednačine: a) lxl = a ; b) lx-3l = a .

15. Data je nejednačina lxl < class="GramE">rešenja ; b) proizvod svih njenih rešenja ?

16. Šta je veće: a) la+bl ili lal + lbl ; b) llal - lbll ili la+bl ?

17. Rešiti jednačine:
a) lx-1l = lx+5l ;
b) lx+1389l - lx+1999l = 12;
c) lx-1l + lx-3l = l4x-2l;
d) lxl + lx-6l = l6-2xl

SABIRANJE I ODUZIMANJE CELIH BROJEVA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Napisati deset uzastopnih celih brojeva tako da su:
a) samo četiri broja pozitivna;
b) samo tri broja negativna .

2. Izračunati:
a) (-1996) + (-1995) + ... + 1996 + 1997 + 1998;
b) (-1994) × (-1993) × ... × 1995 × 1996 × 1997 × 1998 ;

3. Koliko je:
a) (-25) + (-24) + ... + 63 + 64 ;
b) (-85) + (-84) + ... + 37 + 38 ?

4. Izračunati:
a) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... + 1995 - 1996 + 1997 – 1998;
b)1 - 3 + 5 - 7 + ... + 1993 - 1995 + 1997 - 1999.

5. Rešiti sledeće jednačine:
a) (-10) + (-9) + ... + (x-1) + x = -40 (x Î Z);
b) h + (h+1) + ... + 17 + 18 = 51 (x Î Z).

6. Zbir 111 uzastopnih celih brojeva jednak je 0. O kojim brojevima je reč ?

7. Odrediti 1999 uzastopnih celih brojeva tako da je njihov zbir jednak 1999.

8. Zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva je 25. O kojim brojevima je reč?

9. Odrediti sve uzastopne cele brojeve tako da je njihov zbir -35.

10. Ako je x + y = 0, onda je x - y = 0. Dokazati.

11. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je x + y = 0 i 2x + 3y = 25.

12. Odrediti sve cele brojeve x, y i z tako da je: x + y + z = 0, x - y + z = 2 i x + z = y.

13. Odrediti sve cele brojeve x, y i z tako da je: x + y - z = 3, x + y + z = 1 i x + y + z = 3.

14. Koliko rešenja ima jednačina x + y = 10, ako su x,y Î Z.

15. Da li je moguće u polja kvadrata 3 x 3 rasporediti brojeve -1, 0 i 1 tako da je zbir u svakoj koloni, vrsti i dijagonali različit?

16. Na koliko načina se broj 1998 može prikazati kao zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva?

UGLOVI TROUGLA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Ako je zbir dva spoljašnja ugla trougla 270^o, onda je taj trougao pravougli. Dokazati.

2. Spoljašnji ugao jednakokrakog trougla je 100^o. Izračunati unutrašnje uglove trougla.

3. Ako se spoljašnji ugao kod temena A poveća za 35^o, a spoljašnji ugao kod temena B smanji za 20^o, tada se unutrašnji ugao kod temena C smanji za svoju četvrtinu. Izračunati unutrašnji ugao kod temena C.

4. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla i simetrala spoljašnjeg ugla trougla iz istog temena seku se pod pravim uglom. Dokazati.

5. U trouglu ABC simetrala Ð ACB obrazuje sa stranicom AB ugao od 128^o. Izračunati oštar ugao između prave AB i simetrale spoljašnjeg ugla kod temena C.

6. Simetrale oštrih uglova pravouglog trougla seku se pod uglom od 135^o. Dokazati.

7. U trouglu ABC simetrala spoljašnjeg ugla C i simetrala spoljašnjeg ugla B, seku se u tački M. Izračunati Ð BMC, ako je Ð BAC = 50^o.

8. Izračunati ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, ako se visine koje odgovaraju kracima trougla seku pod uglom od 48^o .

9. U trouglu ABC, duž BK je simetrala Ð ABC (K Î AC). Ako je Ð BKC = 70o kolika je razlika ÐACB - ÐCAB ?

10. Hipotenuza AB pravouglog trougla ABC produžena je preko temena A do tačke M tako da je AC = AM i preko temena B do tačke R tako da je BR = BC. Izračunati ugao MCR .

11. Jedan unutrašnji ugao trougla je 75^o. Izračunati ostale uglove trougla, ako se zna da prava koja sadrži teme datog ugla deli dati trougao na dva jednakokraka trougla.

12. Izračunati uglove jednakokrakog trougla ako se zna da simetrala ugla na osnovici seče
simetralu ugla pri vrhu pod uglom od 130^o .

13. Hipotenuzina visina i simetrala pravog ugla seku se pod uglom od 12^o. Izračunati uglove tog trougla .

14. Spoljašnji uglovi trougla su 2x, 20x i 13x. Izračunati unutrašnje i spoljašnje uglove trougla .

15. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, B i C. Ako je O centar kruga i Ð ACB = j , onda je Ð AOB = 2j. Dokazati.

16. Nad duži AB kao prečnikom konstruisana je kružnica. Neka je M proizvoljna tačka na toj
kružnici. Dokazati da je Ð AMB = 90° .

17. Nad duži AB kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Dokazati: a) ako je tačka M u krugu onda je Ð AMB > 90° ; b) ako je tačka M van kruga onda je ÐAMB <>° .

18. Nad stranicom CD kvadrata ABCD konstruisan je jednakostranični trougao CDE. Izračunati uglove trougla ABE

DIRIHLEOV PRINCIP

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Dato je 1999 prirodnih brojeva. Dokazati da je bar 1000 datih brojeva iste parnosti.

2. Među 100 proizvoljnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati.

3. Dato je 999 proizvoljnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom. Da li tvrđenje važi za 998 prostih brojeva ?

4. Dokazati da se od proizvoljnih 6 celih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika deljiva sa 5.

5. Stranice i visine trougla AVS na proizvoljan način obojene su plavom ili crvenom bojom. Dokazati da se na tako dobijenoj slici uvek može uočiti trougao čije su sve stranice iste boje.

6. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoje dve tačke iste boje (plave ili bele) čije je rastojanje 1 sm .

7. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoji pravougli trougao čija je hipotenuza 1998 cm i čija su sva temena iste boje.

8. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji duž čije središte je iste boje kao i njeni krajevi.

9. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji jednakostranični trougao čija su sva tri temena iste boje.

10. Svaka od stranica i dijagonala konveksnog šestougla na proizvoljan način je obojena plavom ili crvenom bojom. Dokazati da postoji trougao čija su temena temena šestougla i čije su sve stranice iste boje.

11. Nespretni učenik je mastilom zabrljao pravougaoni list hartije dimenzija 21 cm h 30 cm, tako da je ukupna površina svih nastalih mrlja 314 cm2. Dokazati da na tom listu hartije postoje dve tačke, simetrične prema jednoj od simetrala pravougaonika, koje se nalaze u neizbrljanom delu papira.

12. Nekoliko lukova date kružne linije obojeno je plavom bojom tako da je zbir dužina svih obojenih lukova manji od polovine obima kružne linije. Dokazati da postoji prečnik kruga čije su obe krajnje tačke iste boje.

13. U kutiji se nalazi 10 belih i 7 crvenih kuglice. Koliko najmanje kuglica treba uzeti iz kutije (bez gledanja), da bi među njima sigurno bile 3 crvene kuglice ?

14. U vreći se nalazi 70 loptica raznih boja: po 20 crvenih, plavih i žutih, dok su ostale crne. Koliko najmanje loptica treba uzeti slučajnim izvlačenjem iz kutije da bi među njima bilo ne manje od 10 loptica iste boje?

15. Prema najnovijem popisu stanovništva u 5990 mesnih zajednica na teritoriji šireg područja grada Beograda živi 1883764 stanovnika. Dokazati da postoje bar dve mesne zajednice sa istim brojem stanovnika.

16. Na prvenstvu škole u košarci svaka sa svakom igra 10 ekipa. Dokazati da u svakom trenutku takmičenja postoje dve ekipe sa istim brojem odigranih utakmica.

ODABRANI ZADACI SA RACIONALNIM BROJEVIMA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Šta je veće: - 1997/1998 ili - 1998/1999.

2. Odrediti sve razlomke sa jednocifrenim imeniocem od kojih je svaki veći od - 8/9 a manji od - 7/9.

3. Koliko je racionalnih brojeva sa imeniocem 5 većih od -1 a manjih od 1?

4. Šta je veće x ili 1/x ako je x ¹ 0 i x e Z?

5. Mile je otpio 1/6 šolje crne kafe i dolio mleko, zatim je otpio 1/3 šolje i dolio mleko, zatim je otpio 1/2 šolje i dolio mleko. Na kraju je popio celu šolju tečnosti. Cega je popio više:
kafe ili mleka ?

6. Razlika dva broja je 13,86. Ako se većem broju pomeri zarez: a) u desno; b) u levo za jedno mesto dobija se manji broj. Koji su to brojevi ?

7. Šta je veće: - 299/999 ili - 2999/9999 ?

8. Koliko ima razlomaka sa jednocifrenim imeniocem koji su veći od -1/2, a manji od 1/3 ?

9. Odredititi dva racionalna broja čiji je zbir -1/5, a količnik 1/5 ?

10. Racionalan broj - 4/7 je nastao skraćivanjem racionalnog broja čiji brojilac i imenilac imaju zbir 885. Odrediti prvobitni razlomak.

11. Kazaljke na časovniku pokazuju 9 sati. Posle koliko vremena će se one prvi put poklopiti ?

PROSTI BROJEVI. DELJIVOST

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Dokazati :
a) broj 2 je jedini paran prost broj
b) skup svih celih brojeva je beskonačan
c) svi prosti brojevi veći od dva su neparni.

2. Skup prostih brojeva je beskonačan. Dokazati.

3. Svi prosti brojevi veći od 2 su oblika 4k - 1 ili 4k + 1. Svi prosti brojevi veći od 3 imaju oblik 6k - 1 ili 6k + 1. Obrnuto ne važi. Dokazati.

4. Odrediti sve proste brojeve r takve da je
a) p + 5 prost broj v) 3^p + p³ prost broj
b) p² + 9 prost broj g) p + 2 i p + 4 prosti brojevi.

5. Ako je p prost broj onda je :
a) p + 7 složen broj
b) p¹⁹⁹⁵ + p¹⁹⁹⁶ složen broj
v) p¹⁹⁸⁷ + p¹⁹⁸⁸ + 1988 složen broj. Dokazati.

6. Ako su p i 8p - 1 prosti brojevi onda je 8p + 1 složen broj. Dokazati.

7. Dokazati da postoji 11 uzastopnih složenih brojeva.

8. Zbir dva prirodna broja je 288 , NZD je 36. Koji su ti brojevi?

9. Postoji li prirodan broj čiji je proizvod cifara 650. Postoji li prirodan broj čiji je zbir cifara 650 ?

10. Odredi najmanji prirodan broj k kojim treba pomnožiti broj 300 da se dobije kub prirodnog broja.

11. Dokazati da je broj: a) 1987¹⁹⁸⁶ + 1 ; b) 1995¹⁹⁹⁶ - 345 deljiv sa 10.

12. Mirko je kupio nekoliko olovki po 27 konvertibilnih dinara i nekoliko sveski po 72 konvertibilna dinara. Prodavac mu je za to naplatio 1234 konvertibilna dinara. Kako je Mirko znao da je prodavac pogrešio?

13. Proizvod 2 dvocifrena prirodna broja zapisan je samo pomoću četvorki. O kojim brojevima je reč ?

14. Odrediti najmanji prirodan broj koji pri deljenju sa 2 daje ostatak 1, pri deljenju sa
3 daje ostatak 2, a pri deljenju sa 8 daje ostatak 7.

15. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve čiji je zbir cifara 10, a deljivi su sa 11

ODNOS STRANICA I UGLOVI TROUGLA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. U pravouglom trouglu stranica koja leži naspram pravog ugla zove se hipotenuza, a stranice koje se nalaze naspram oštrih uglova su katete. Dokazati da je hipotenuza veća od obe katete pojedinačno, a manja od njihovog zbira.

2. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla.

3. Odrediti sve trouglove čiji je obim 10 cm, a merni brojevi stranica su celi brojevi.

4. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ³ b ³ c, onda je potreban i dovoljan uslov da trougao postoji b + c > a. Dokazati.

5. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina
trougla. Dokazati da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme.

6. Simetrale uglova trougla AVS seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla.

7. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je
svaki od tih delova manji od susedne stranice.

8. U jednakokrakom trouglu AVS ( AS = AV) osnovica VS je produžena preko temena S do
proizvoljne tačke D. Dokazati da je Ð AVS > Ð ADC .

9. Duž koja povezuje teme sa sredinom naspramne strane naziva se težišna duž trougla.
Neka je dat trougao AVS i neka je D presek simetrale ugla ASV sa stranicom AV, a E središte duži AE. Dokazati da je težišna duč SE veća od simetralne duži CD.

10. Dokazati da je svaka težišna duž trougla manja od: a) poluobima trougla ; b) poluzbira
stranica koje polaze iz istog temena sa težišnom duži.

11. Zbir svih visina trougla uvek je manji od obima tog trougla. Dokazati.

12. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od poluobima, a manji od obima trougla.

13. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da važe nejednakosti: Ð AMV > Ð ASV

14. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da je zbir duži AM + VM + SM veći od poluobima, a manji od obima trougla AVS.

15. Na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena C trougla AVS izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MV > AS + VS.

16. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, V i S. Ako je O centar kruga i Ð ASV = j , onda je Ð AOV = 2j .

17. Nad duži AV kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Neka je M proizvoljna tačka na toj kružnici k. Dokazati da je Ð AMV = 90° .

18. Hipotenuza pravouglog trougla je dva puta veća od katete tog trougla. Izračunati uglove tog trougla.

Odabrani zadaci i KOMBINATORIKA