MaTeMaTiKa

MATEMATIKA * MISLI O MATEMATICI

2010-04-10T12:47:00.000+02:00

MaTeMaTiKa * Rekli su ...

Priroda je ogromna knjiga u kojoj je napisana nauka. Ona je stalno otvorena pred našim očima, ali je čovek ne može razumeti ukoliko prethodno ne nauči jezik i slova kojim je napisana. A napisana je ona jezikom matematike.

Galio Galilej

Matematika je ključ za celokupno ljudsko znanje

Leonard Ojler

Matematika – to je jezik kojim govore sve prirodne nauke .
Ne postoji nijedna matematička oblast, ma kako ona apstraktna bila, koja se ne bi mogla primeniti na pojave realnog sveta.

Nikolaj Lobačevski

Nadahnuće je potrebno u poeziji kao i u geometriji.

Aleksandar Puškin

Najbolji način da se nešto nauči jeste – da se samostalno otkrije

D. Polja

Suština matematike je – u njenoj večitoj mladosti

E. Bel

Pravi matematičar može i usred nepovoljnih prilika naći mogućnost za stvaralački rad

L. Mardel

Pri obučavanju dece neophodno je težiti k tome da se kod njih postepeno sjedinjuje znanje sa umenjem. Izgleda da je od svih nauka jedino matematika sposobna da u potpunosti zadovolji ovaj zahtev.

I. Kant

Mi nikada ne postajemo matematičari, čak i ako naučimo napamet sve tuđe dokaze, ako naš um nije osposobljen da samostalno rešava postavljene probleme

R. Dekart

Iz matematike će mnogo štošta ne zadrži u pameti, no ako si je jednom savladao, onda ćeš se po potrebi uvek lako prisetiti zaboravljenog.

B. Ostrogradski

Matematika je – nauka mladih. Drugačije ne može ni biti. Bavljenje matematikom predstavlja takvu gimnastiku uma, da je za nju potrebna sva gipkost i izdržljivost mladosti.

N. Viner

Među ljudima jednakih umnih sposobnosti, koji rade pod istim uslovima, u prednosti su oni koji znaju geometriju.

B. Paskal

“ Brojevi upravljaju svetom “ – govorili su pitagorejci. To je, razume se, mistika. Ali brojevi pružaju čoveku mogućnost da upravlja svetom i u to nas ubeđuje celi tok i razvitak nauke i tehnike našeg doba.

A. Dorodnicin

Prava matematika je uvek bila lepa, a prava je umetnost uvek bila i istinita.

V. Devide

Uči se rešavanjem problema, a ne čitanjem udžbenika.

E. Kim Neubets

Layman A Allen profesor prava na Mičigenskom univerzitetu, bacio je kocku kada je shvatio da njegovi studenti slabo stoje sa logikom. Razmišljao je ovako: u osnovi prava je logika. Dakle, ko nije u stanju logično misliti, ne može se baviti pravom. U osnovi logike je pak matematika, a matematika je za mnoge bauk. Odatle treba početi!

( Večernji list)

MATEMATIKA * MISLI O MATEMATICI - Rekli su ...

Zadaci numeracije i prebrojavanja

2010-04-10T12:10:00.007+02:00

Logički zadaci
Cifre ... Prirodni brojevi
Zadaci numeracije i prebrojavanja

1. Koliko se puta upotrebi svaka cifra za pisanje svih dvocifrenih brojeva?

Rešenje: Nula se upotrebi na mestu jedinica po jednom u svakoj desetici: 9 x 1 = 9 puta. Ostale se cifre upotrebe na mestu jedinica po jedanput u svakoj desetici i na mestu desetica koje počinju tom cifrom 10 puta, ukupno 9 + 10 = 19 puta.

2. Koliko se može napisati različitih četvorocifrenih brojeva stavljajući umesto zvezdica cifre 3 * * 4?

Rešenje: Na mestu prve zvezdice mogu se staviti svih 10 cifara, a na mestu druge zvezdice može se staviti isto toliko cifara, pa se može napisati 10 x 10 = 100 četvorocifrenih brojeva.

3. Koliko ima trocifrenih brojeva kod kojih je cifra stotina jednaka cifri jedinica?

Rešenje: Za istu cifru desetica postoji u svakoj stotini 9 takvih brojeva.. Kako se na mestu desetica može staviti 10 različitih cifara, te će takvih biti 9 x 10 = 90 brojeva.

4. Mogu li se među brojevima: 11, 13, 17, 41, 53, 67, 83, i 91 izabrati tri broja da im zbir bude 100?

Rešenje: Ne, jer su svi neparni. Zbir 3 neparna broja je neparan broj, a 100 je paran broj.

5. Koliko se upotrebi cifara za pisanje svih dvocifrenih brojeva i trocifrenih brojeva?

Rešenje: Dvocifrenih brojeva ima 90, pa je za njih potrebno 90 x 2 = 180 cifara. Trocifrenih brojeva ima 900, a za njih treba 900 x 3 = 2700 cifara. Dakle, ukupno je potrebno 180 + 2700 = 2880 cifara.

6. Koliko treba upotrebiti cifara da bi se numerisala knjiga koja ima 421 stranicu?

Rešenje: Za jednocifrene i dvocifrene brojeve upotrebi se 9 x 1 + 90 x 2 = 189 cifara. Za trocifrene brojeve se upotrebi se još (421 - 99) x 3 = 966 cifara. Prema tome, ukupno se upotrebi 189 + 966 = 1155 cifara

7. Da bi se numerisale stranice neke knjige bilo je potrebno 1244 cifre. Koliko stranica ima ta knjiga?

Rešenje: Za numeraciju trocifrenih stranica upotrebljno je 1224 - (9 x1 + 90 x 2 ) = 1035 cifara, pa je broj trocifrenih stranica 1035 : 3 = 345, a ukupan broj stanica je 99 + 345= 444.

8. Daktilografkinja je otkucala jedan iza drugog prirodne brojeve bez razlomka: 12345678910111121214..... Otkucala je ukupno 219 cifara. Koliko je puta otkucala cifru 1?

Rešenje: Otkucala je ( 219 - 189) : 3 =10 trocifrenih brojeva , a za njih je upotrebila 11 jedinica. Za dvocifrene brojeve joj je trebalo 19 jedinica i 1 jedinica za jednocifrene, pa je otkucala ukupno 11 + 19 + 1 = 31 jedinicu.

9. Za koliko je veći zbir svih neparnih dvocifrenih brojeva od zbira svih parnih dvocifrenih brojeva?

Rešenje: Za svaki par susednih brojeva: 10, 11, 12, 13, 14, 15 itd. veći je neparan za 1. Takvih parova imamo 90 : 2 = 45 , pa je veći zbir neparnih brojeva za 45 x 1 = 45

10. Izračunaj zbir prvih 100 prirodnih brojeva.

Rešenje: Možemo formirati zbirove: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97, ... , 50 + 51. Ti zbirovi se nalaze na 50 mesta, a pošto je vrednost od njih 101, to je ukupan njihov zbir 101 x 50 = 5050

11. Dešifrovati sledeće sabiranje : B + AAAA + AAAA = BAAAA . Slova A i B su različite cifre, pri čemu su sve cifre A međusobno jednake i isto tako sve cifre B međusobno jednake.

Rešenje: Cifra B je pri ovom sabiranju prenos i može biti 1 ili 2. Ako je B = 2, onda bi moralo biti A = 9, a 2 + 9999 + 9999 = 2000, što ne odgovara uslovima zadatka. Tačno rešenje je B = 1 i A = 9, odnosno 1 + 9999 + 9999 = 19999

12. Može li broj 3478 biti proizvod dva uzastopna prirodna broja?

Rešenje: Ne može, jer se proizvod dva uzastopna prirodna broja završava jednom od cifara: 0, 2, 6, a ovaj broj se završava cifrom 8.

MATEMATIKA * Brzo ogdovori ...

2010-04-08T15:52:00.004+02:00

Zanimljivi logički zadaci - pitanja * MaTeMaTiKa
Odgovori na pitanja - zadatke su ispod zadataka

1. Četiri čoveka igrala su šah 4 sata. Koliko je sati igrao svaki od učesnika?

2. Svaki štap ima dva kraja. Koliko krajeva ima štap i po?

3. 10 vagona voza prešlo je 100 km. Koliko je kilometara prešao svaki vagon?

4. Da bismo našli umanjenik, razliku smo uvećali za 37. Koliki je umanjenik?

5. Letvu treba izrezati na šest jednakih delova. Koliko puta treba rezati letvu?

6. Postoje li dva pitanja na koja niko na svetu ne može odgovoriti sa >> DA << , već samo sa >> NE <<.

7. Koliko se dobije ako se šest desetica podeli sa tri desetice?

8. Kako se broj 66 može povećati za svoju polovinu, a da se s njim ne obavljaju nikakve računske operacije?

9. Kako je pravilno reći 2 i 3 su 6 ili 2 i 3 jesu 6?

10. Četrdeset stubova ograde postavljeno je na rastojanju 4m jedan od drugog, po pravoj liniji. Kolika je dužina te ograde?

11. Rastojanje između telefonskih stubova iznosi 50m. Koliko telefonskih stubova treba postaviti na rastojanju od 5000m ?

12. Svaka od tri sestre ima brata. Koliko u toj porodici ima dece ?

13. Brat i sestra su imali istu količinu jabuka. Brat je dao sestri 4 jabuke. Za koliko je sada sestra imala više jabuka od brata ?

14. Tri čoveka čekala su autobus 3 sata. Koliko je vremena čekao svaki ?

15. U svakom uglu sobe nalazi se po jedna mačka i svaka od njih vidi tri mačke. Koliko je bilo mačaka u sobi ?

16. Brojevi 3 i 4 su napisani jedan iza drugog. Koji znak treba staviti između njih da se dobije broj veći od 3 a manji od 4 ?

17. Koji broj ima svojstvo da podeljen sa svojom petinom daje količnik 5 ?

18. Petao, dok stoji na jednoj nozi, težak je 2,5 kg. Koliko će kilograma biti težak ako stane na obe noge ?

19. Tri brata, Vlada, Saša i Nikola, učila su u različitim razredima jedne škole. Vlada nije bio stariji od Nikole, a Saša nije bio stariji od Vlade. Kažite ime najstarijeg i najmlađeg od njih.

20. Dečak ima isto toliko braće koliko i sestara, a njegova sestra ima dvaput manje sestara nego braće. Koliko u toj porodici ima braće i sestara ?

Odgovori:

1. 4 sata
2. 4 kraja
3. 100 km
4. 48
5. 5 puta
6. Spavaš li? Jesi li umro?
7. 2
8. Treba okrenuti broj " naglavačke " .
9. 2 i 3 su 5
10. 156 m
11. 101 stub
12. četvoro dece
13. za 8 jabuka
14. 3 sata
15. 4 mačke
16. zarez
17. 25
18. 2,5 kg
19. Najstariji je Nikola a najmlađi Saša.
20. 4 brata i 3 sestre

Logički zadaci - četvrti i peti razred * MaTeMaTiKa

2010-04-02T16:09:00.004+02:00

Zanimljivi logički zadaci * MaTeMaTiKa

Zadaci koji mogu koristiti učenicima za pripremu za takmičenje iz matematike (četvrti i peti razred osnovne škole).

Zadaci za razvijanje logičkog razmišljanja

1. Jedan dečak govori drugom : “Ako ti daš meni polovinu svog novca, ja mogu kupiti tačno jednu olovku”. Drugi dečak odgovara :”Ako ti meni daš polovinu svoga novca, onda ja mogu kupiti tačno dve olovke”. Koliko je bilo novca kod prvog dečaka ?

Rešenje: Drugi dečak ima novca za dve olovke. Prvi nema novca.

2. Ako dve jabuke imaju masu koliko i tri kruške, a četiri kruške koštaju koliko i tri jabuke, da li su skuplje kruške ili jabuke ?

Rešenje: Šest jabuka imaju masu koliko i devet krušaka, a koštaju koliko i osam krušaka.Znači,kruške su skuplje.

3. U četvorospratnoj kući niko ne stanuje u prizemlju.Vasa stanuje iznad Pere, ali ispod Save, a Miša stanuje ispod Pere. Na kom spratu stanuje svako od njih ?

Rešenje: Vasa stanije iznad Pere ali ispod Save. Miša stanuje ispod Pere. Iz toga sledi da Sava stanuje na četvrtom, Vasa na trećem, Pera na drugom i Miša na prvom spratu.

4. Fudbalski tim je odigrao tri utakmice : jednu je dobio, jednu je igrao nerešeno i jednu izgubio. Tim je na ovim utakmicama dao tri gola i primio jedan. Kojim rezultatom je završena svaka od ovih utakmica ?

Rešenje: Tim je izgubio jednu utakmicu. Mogao je izgubiti ako je primio više golova nego što je dao. A pošto je primio samo jedan gol, onda je tu utakmicu izgubio ne dajući nijedan gol. Dakle, izgubljena utakmica završena je rezultatom 0:1. To znači, u preostale dve utakmice (dobijenoj i igranoj nerešeno) tim je dao tri gola a nijedan nije primio. U utakmici koja je završena nerešeno dato je isto golova koliko je i primljeno. A pošto nijedan gol nije primljen, onda je nerešena utakmica završena rezultatom 0:0. Prema tome, na dobijenoj utakmici data su tri gola a nije primljen nijedan, tj.rezultat je bio 3:0. Odgovor: 0:1, 0:0, 3:0.

5. Fudbalski tim je odigrao šest utakmica : dve je dobio, dve igrao nerešeno I dve izgubio. Na ovim utakmicama dao je tri I primio dva gola. Kojim rezultatom je završena svaka od ovih utakmica ?

Rešenje : 0:1, 0:1, 0:0, 1:0, 2:0.

6. U trci na 100m učestvovali su : Arsa, Boža, Sava, Darko, Obrad i Fića. Tvoj je zadatak da odgonetneš redosled posle trke ako su poznati podaci kako sledi :
1. Iako je postigao sopstveni rekord, Fića nije uspeo da pobedi.
2. Sava je bio brži od Darka.
3. Obrad je zauzeo treće mesto.
4. Arsa je stigao posle Fiće, ali pre Save.

Rešenje : Fića je bio brži od Arse, Arsa od Save, a Sava od Darka.Stoga se odmah zaključuje da je pobednik Boža i da je konačan redosled po završenoj trci bio :
1. Boža, 2. Fića, 3. Obrad, 4. Arsa, 5. Sava, 6. Darko.

7. U sandučetu ima 70 loptica, koje se razlikuju samo po boji : 20 je crvenih, 20 plavih, 20 žutih, a ostale su crne ili bele. Koji najmanji broj loptica treba uzeti, ako ih ne gledamo, da bismo se osigurali da je medju njima bar 10 loptica iste boje ?

Rešenje : Najveći broj loptica koje se mogu uzeti a da pri tom ne bude 10 loptica iste boje, iznosi 37 (sve crne i bele, 9 crvenih, 9 plavih, 9 žutih).
Znači, treba uzeti 38 loptica.

8. Treba pola stotine podeliti jednom polovinom. Koliko će se dobiti?

Rešenje: 100

Logički zadaci - četvrti i peti razred * MaTeMaTiKa

2010-04-02T16:07:00.005+02:00

Zanimljivi logički zadaci * MaTeMaTiKa

Zadaci koji mogu koristiti učenicima za pripremu za takmičenje iz matematike (četvrti i peti razred osnovne škole).

Logičko - kombinatorni zadaci

1. a) Zapiši sve dvocifrene brojeve koristeći cifre 4 i 6.
b) Koliko dvocifrenih brojeva možeš zapisati pomoću ove dve cifre ?
v) Ako su date dve cifre i nijedna od njih nije nula, koliko dvocifrenih brojeva možeš zapisati pomoću tih cifara ?

Rešenje : a) 44, 46, 66, 64 ; b) četiri ; v)2 x 2 = 4

2. a) Zapiši sve dvocifrene brojeve koristeći cifre 7, 3 i 1.
b) Koliko dvocifrenih brojeva možeš zapisati pomoću ove tri cifre ?
v) Ako su date tri cifre I nijedna od njih nije nula, koliko dvocifrenih brojeva možeš zapisati pomoću njih ?

Rešenje : a) 77, 73, 71, 33, 37, 31, 11, 17, 13 ; b) devet ; v) 3 x 3 =9

3. a) Zapiši sve dvocifrene brojeve pomoću cifara 2, 4, 6 i 8.
b) Koliko dvocifrenih brojeva možeš zapisati pomoću ovih cifara ?
v) Koliko dvocifrenih brojeva možeš napisati pomoću četiri cifre koje su različite od nule ?

Rešenje : a) 22, 24, 26, 28, 44, 42, 46, 48, 66, 62, 64, 68, 88, 82, 84, 86 ; b) 16 ; v) 4 x 4 =16

4.
1) Odredi koliko se dvocifrenih brojeva može napisati pomoću :
a) pet cifara koje su različite od nule ,
b) sedam cifara koje su različite od nule ,
v) devet cifara koje su različite od nule ?
2) Na osnovu rešavanja ovih primera koji zaključak možeš izvesti o broju dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati pomoću datog broja cifara (koje su različite od nule) ?

Rešenje : 1) a) svega je 5 x 5 = 25 dvocifrenih brojeva ; b) 7 x 7 = 49 ; v) 9 x 9 =81
2) Broj dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati pomoću datog broja cifara jednak je proizvodu dva činioca, od kojih je svaki od njih jednak broju datih cifara.

5. a) Napiši sve trocifrene brojeve koristeći cifre 8 i 9.
b) Koliko je ovih brojeva ?

Rešenje : a) 888, 889, 899, 898, 988, 989, 999, 998 ;
b) svega je 2 x 2 x 2 = 8 trocifrenih brojeva.

6. a) Napiši sve trocifrene brojeve koristeći cifre 7, 5, 1.
b) Koliko ima ovih brojeva ?

Rešenje : a) 777, 555, 111, 771, 717, 177, 711, 171, 117, 755, 575, 557, 775, 757, 577, 511, 151, 115, 551, 155, 515, 571, 751, 175, 157, 517.
b) Svega je 3 x 3 x 3 = 27 trocifrenih brojeva.

7. a) Napiši sve cetvorocifrene brojeve koristeći cifre 1 i 2.
b) Koliko ima ovih brojeva ?

Rešenje : a) 1111, 2222, 1112, 1121, 1211, 2111, 1222, 2122, 2211, 2212, 2221, 1122, 1212, 2112, 2121, 1221 ;
b) Svega je 8 x 1 x 2 = 16 četvorocifrenih brojeva.

8. Koliko se svega četvorocifrenih brojeva može napisati pomoću cifara 0 i 1 ?

Rešenje : 8 četvorocifrenih brojeva : 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.

9.Odredi, ne zapisujući brojeve, koliko se svega petocifrenih brojeva može zapisati pomoću cifara 3 i 4.

Rešenje : Svega je 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 petocifrena broja.

10. Koliko se svega četvorocifrenih brojeva može zapisati, bez korišćenja cifre nula, pomoću :
a) jedne cifre ;
b) dve cifre ;
v) tri cifre ;
g) četiri cifre ;
d) pet cifara ;
đ) šest cifara ?

Rešenje : a) 1 ; b) 16 ; v) 81 ; g) 256 ; d) 626 ; đ) 1296.

Logički zadaci - četvrti i peti razred * MaTeMaTiKa

2010-04-02T16:06:00.004+02:00

Zanimljivi logički zadaci * MaTeMaTiKa

Zadaci koji mogu koristiti učenicima za pripremu za takmičenje iz matematike (četvrti i peti razred osnovne škole).

Zadaci za razvijanje logičkog razmišljanja

1. Zbir dva broja iznosi 330. Kada se većem broju odbije s desne strane nula, ti brojevi postaju jednaki . Koji su to brojevi?

Rešenje: Broj 300 i broj 30

2. Kada je pešak prešao polovinu puta I još 2 km, ostalo muje da pređe još četvrtinu puta I 6 km. Koliko je dužina puta?

Rešenje: 32 km

3. Trećina stuba je u zemlji, polovina u vodi, a iznad vode viri 1,5 m. Koika je dužina stuba?

Rešenje: 9 m

4. Broj 12 izrazite sa četiri devetke.

Rešenje: 9 + 99 : 9

5. Ako bi se jabuke stavljale u sandke po 6 kg, onda bi 8 kg jabuka bilo više, a ako bi stavljali po 8 kg, onda bi još moglo stati 6 kg jabuka. Koliko je bilo sanduka I koliko jabuka?

Rešenje: 7 sanduka I 50 kg jabuka.

6. Koliko ima trocifrenih brojeva koji semogu podeliti sa 5?

Rešenje: 90

7. Broj pedesetpet izrazi sa pet četvorki.

Rešenje: 44 + ( 44 :4 )

8. Jedan radnik može završiti posao za 4 sata, a drugi za 12 sati. Za koje vreme bi obavili taj posao radeći zajedno?

Rešenje: Za tri sata

9. U mračnom predsoblju nalazi se 8 pari papuča. Koliko papuča treba uzeti da bi se među njima našla bar dva para papuča?

Rešenje: Treba uzeti 10 papuča

10. U prodavnici nameštaja nalaze se 14 kancelarijskih stolova s jednom, dve I tri fioke. Ukupno u tim stolovima ima 25 fioka. Stolova s jednom fijokom ima koliko i sa dve i tri fioke zajedno. Kolkiko ima stolova sa tri fioke?

Rešenje: Stolova s jednom fijokom ima7, a s dve I tri fijoke ukupno takođe 7.. U tim stolovima je 25 – 7 = 18 fijoka, tada bi ukupno bilo 14 fijoka, tj. za 4 manje nego što je u stvari. Odgovor. Sa 3 fioke su 4 stola, sa 2 fijoke 3 stola i s jednom fijokom 7 stolova.

11. Roba težine 125 kg razmerena je u 40 vreća od 5 kg I 2kg. Koliko je kojih vreća?

Rešenje: 15 vreća po 5 kg i 25 vreća po 2 kg.

12. Fudbalska liga ima 18 klubova. Svaki klub igra sa svakim po dve utakmice: jednu na svom terenu , drugu u gostima. Koliko se u ligi ukupno odigra u toku jedne godine?

Rešenje: 306 utakmica

13. Toma, Vlada i Saša žive u istoj ulici ali u različitim kućama. U istoj ulici nalazi se škola u kojoj oni uče. Vlada ne stanuje bliže školi od Tome, a Saša ne stanuje od škole dalje nego Toma. Ko od tih dečaka trba krenuti iz stana pre svih, ko od njih kreće posle predhodnog I na kraju, ko od njih čeka predhodno da bi svi zajedno ušli u školu?

Rešenje: Vlada treba krenuti ranije od svih, zatim Toma i na kraju Saša.

14. Jedan broj je za 7 manji od drugog i iznosi tri njegove četvrtine. Koji su to brojevi?

Rešenje: Četvrtina većeg broja je 7. Brojevi su 28 i 21.

15. U kavezima se nalaze zečevi i fazani . Ove životinje imaju ukupno 35 glava I 94 noge. Koliko je fazana I koliko zečeva?

Rešenje: Ako bi u kavezu bili samo fazani , onda bi broj nogu bio 70, a ne 94. Prema tome višak od 24 noge pripada zečevima, njih je 12, a fazana 23

Logički zadaci - Zabavna MaTeMaTiKa

2010-04-02T08:12:00.009+02:00

Rešenje: Za dva sata

2. Dve kruške imaju zajedno 100 g. Veća kruška i teg od 30 g su u ravnoteži sa manjom kruškom i tegom od 40 g. Koliko grama je teška svaka kruška?

Rešenje: Iz zadatka zaključujemo da je veća kruška za 10 grama teža od manje. 55 grama i 45 grama

3. Ako sedne u klupe 5 učenika, za 7 učenika nema mesta. Ako sedne u klupe 7 učenika, ostaju 3 mesta prazna. Koliko je klupa i koliko učenika?

Rešenje: Klupa 5, učenika 32.

4. U kutiji se nalaze dve vrste bombona. Ne gledajući , treba uzeti iz kutije nekoliko bombona tako da među uzetim budu bar dve bombone iste vrste. Koji najmanji broj bombona treba uzeti?

Rešenje: Ako se uzmu samo 2 bombone tada one mogu biti različitih vrsta. Treba uzeti tri bombone.

5. Koji broj , u redu brojeva 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21 … sledi posle broja 21?

Rešenje: Broj 28

6. Pomoću dve posude od 3 l i 5 l odmerite iz vodovodne slavine u lonac 4 l vode.

Rešenje: Napunite posudu od 5l i njome napunte posudu od 3 l, ostatak od 2 l sipajta u lonac . Ponovite to još jednom i u loncu će biti četiri litra vode.

7. Kada je putnik prešao 10 kilometara, ostalo mu je još dve petine puta do sredine. Kolika je dužina celog puta?

Rešenje: Ako u jednoj polovini puta ima 10 kilometra i još dve petine puta , onda i u drugoj polovini ima isto toliko, pa jedna petina puta iznosi 20 kilometara, a ceo put 100 kilometara

8. U korpi se nalaze 10 belih , 7 crvenih I 5 zelenih kuglica. Koliko najmanje , ne gledajući , treba izvaditi kuglica iz korpe da bi među njima bilo kuglica svih boja?

Rešenje: 18 kuglica

9. Brat i sestra imaju zajedno 23 godine. Da je brat 2 godine mlađi , onda bi on bio 2 puta stariji od sestre. Koliko je godina bratu , a koliko sestri?

Rešenje: Da je brat mlađi za dve godine, onda bi imali zajedno 21 godinu. 21 : 3 = 7. Brat ima 16 godina, a sestra 7 godina

10. Na jednu stranu vage stavljen je komad sapuna, a na drugu još ¾ sapuna. Vaga je u ravnoteži . Kolika je težina sapuna?

Rešenje: Četvrtina sapuna teška je tri četvrtine kilograma, a celi sapun 3 kilograma

11. Tri dugarice Milena, Jovana i Ivana su zajedno imale 980 dinara. Prvo su išle u bioskop i svaka je platila svoju kartu. Zatim su otišle u prodavnicu i potrošile Milena 168, Jovana 109 i Ivana 123 dinara. Na kraju im je ostalo zajedno 130 dinara. Kolika je cena jedne bioskopske karte?

Rešenje: Ako je cena karte x onda su zajedno potrošile na karte 3x dinara.
3x + ( 168 + 109 +123) + 130 = 980
3x = 980 – 530
3x = 450

x = 150
Cena jedne bioskopske karte je 150 dinara

12. Koliko listova ima knjiga ako je za numerisanje njenih strana upotrebljeno tačno 77 sedmica

Rešenje: Za numeraciju prvih 100 strana upotrebljeno je 20 sedmica, i to za numeraciju sledećih strana: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73,74, 75, 76, 777, 78, 79, 87 i 97. Slično za numeraciju narednih 200 strana upotrebljeno je jo 40 sedmica, tako da je ostalo 17 sedmica. Znači da knjiga ima 378 strana, odnosno 189 listova.

13. Odredi razliku najvećeg i najmanjeg šestocifrenog broja zapisanih pomoću cifara 0, 2, 3, 6, 7 i 9, tako da se svaka cifra pojavljuje u svakom od brojeva tačno jednom.

Rešenje: Najveći takav broj je 976320, a najmanji 203679. Njihova razlika je 976320 – 203679 = 772641

14. U jednoj godini je bilo 53 petka. Ako je 1. januar bio četvrtak, koji dan je bio 1. april?
Rešenje : Sem 2. januara koji je bio petak, u godini je bilo još 52 petka, što znači da je ta godina imala 2 + 7 x 52 = 366 dana, tj. da je bila prestupna. U takvoj godini , između 1. januara i 1. aprila ima tačno 30 + 29 + 31 = 90 dana, što znači da je 1. april 92. dan u godini, sledi da je 1. april bio takođe četvrtak.

Logički zadaci - Zabavna MaTeMaTiKa

2010-04-01T18:57:00.012+02:00

Rešenje: Ne može, jer će posle 72 sata biti opet 12 sati noću, a noću sunce ne sija

2. Miš je udaljen od od svog skloništa 20 koraka. Mačka je udaljena od miša 5 skokova. Dok mačka jedanput skoči, miš načini 3 koraka, ali je jedan skok mačke velik kao 10 miševih koraka. Da li će mačka uhvatiti miša?

Rešenje: Miš će umaći mački za jedan korak

3. Za lonac s poklopcem plaćeno je 1.200 dinara. Lonac je skuplji od poklopca 1.000 dinara. Koliko košta poklopac?

Rešenje: Poklopac košta 100 dinara

4. Kada je biciklista prešao dve trećine puta, pukla mu je guma na točku. Preostali deo puta prešao je pešice utrošivši dvaput više vremena nego vozeći se biciklom. Kolki se puta brže kretao biciklom nego pešice?

Rešenje: Biciklista je prešao pešice trećinu puta, tj. dvaput manje nego biciklom, a utrošio je dvaput više vremena. Prema tome , vozio je 4 puta brže nego što je išao pešice

5. Za svesku je plaćeno 100 dinara i još trećinu cene sveske. Kolika je cena sveske?

Rešenje: 150 dinara

6. Otac je stariji od sina 3 puta, a sin je stariji od sestre 3 puta. Koliko je godina ocu ako zbir njegovih i ćerkinih godina iznosi 50?

Rešenje: 45 godina

7. Kada je učenik pročitao polovinu knjige i još 20 strana ostalo mu je da pročita još trećinu knjige. Kolko je imala strana imala knjiga?

Rešenje: 120 strana

8. Na koliko se načina od 6 jabuka mogu uzeti 2 jabuke?

Rešenje: 15 načina

9. Kada je ocu bila 31 godina, sin je imao 8 godina, a sad je otac dvaput stariji od sina. Koliko je sinu sada godina?

Rešenje: 23 godine. Otac je stariji od sina 23 godine. Prema tome, sin treba imati 23 godine da bi otac bio dvaput stariji od njega.

10. Majka je imala 26 godina kada je rodila kćerku, a 31 godinu kada je rodila sina . Koliko danas svako od njih ima godina ako svi zajedno imaju 60 godina.

Rešenja: Kada se rodio sin kci je imala 5 godina. Ukupno kći i majka su imale 36 godina. . (60 - 36):3=8. Sin 8, kći 13 i majka 39 godina.

11. Napišite 0 pomoću 3 četvorke.

Rešenje: (4 - 4) x 4 = 0

12. Dva brata, Uroš i Marko rođeni su istog dana, u istom mestu, iste godine i od istih roditelja, ali nisu blizanci. Kako je to moguće?

Rešenje: Rođeni su kao trojke s još jednim bratom ili jednom sestrom.

13. Brat i sestra su pre 8 godina imali zajedno 8 godina. Koliko će godina imati zajedno posle 8 godina?

Rešenje: I sestra i brat će posle 8 godina biti stariji za po 16 godina i imaće ukupno 40 godina.

14. Sinu je 9 godina , a ocu je 35. Kada će otac biti tri puta stariji od sina?

Rešenje: Razlika između godina i oca i sina ostaje stalna. Kada sin bude imao 13 godina

15. Svi prirodni brojevi počevši od 1, napisani su uzastopno u redu jedan iza drugog : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 itd. Koji broj u tom zapisu stoji na stotom mestu?

Rešenje: Na stotom mestu mestu je broj 5 u broju 55.

ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

2010-03-27T16:16:00.010+01:00

MaTeMaTiKa

Matematika za talentovane učenike i učenike osnovne škole koji vole matematiku

ZANIMLJIVA MATEMATIKA

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=123456789 87654321

12345679 x 9 =111111111
12345679 x 18=222222222
12345679 x 27=333333333
12345679 x 36=444444444
12345679 x 45=555555555
12345679 x 54=666666666
12345679 x 63=777777777
12345679 x 72=888888888
12345679 x 81=999999999

ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

LOGIČKO-KOMBINATORNI ZADACI

2010-03-22T18:25:00.001+01:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. U čaši , balonu i kanti nalaze se : limunada, mleko i voda (u svakom sudu po jedna tečnost ). U kanti nije limunada, a ni mleko. U čaši nije limunada. Koja se tečnost nalazi u kom sudu?

2. Koje su ocene dobili Anka, Branka i Danka ako Anka nema '3', Danka nema '3' i nema '5' , a u odeljenju nema dvojki i jedinica iz matematike.

3. Od tri olovke , jedna je crvena, jedna bela i jedna plava. Označiti olovke sa A, B i C. Koje boje imaju olovke ako je tačno samo jedno od tri tvrđenja. "A je crvena" , "B nije crvena" , "C nije plava".

4. Boris , Dušan , Milica i Višnja su kapiteni sportskih ekipa u svojoj školi. Postavljeno im je pitanje u kojim sportovima se takmiče i oni su dali sledeće izjave : Boris : "Višnjina ekipa igra rukomet , a Milicina košarku". Dušan: "Višnja igra odbojku, a Boris košarku". Milica
: "Dušan je kapiten odbojkaša , a Boris rukometaša ". Višnja : "Boris predvodi odbojkaše, a Milica šahiste". Ispostavilo se da se kapiteni nedovoljno poznaju. Naime svaki je
istinu rekao samo za jednog sportistu. Odgovoriti kojim ekipama su kapiteni Boris, Dušan, Milica i Višnja.

5. U jednoj vazi je pet karanfila , a u drugoj tri ruže. Na koliko načina se može izabrati jedan karanfil ili jedna ruža? Na koliko načina se može napraviti buket od jednog karanfila i jedne ruže?

6. Od mesta A do mesta B vode tri puta , a od mesta B do mesta C dva puta. Na koliko se načina može stići iz A u C preko B?

7. Na koliko se načina mogu razmestiti 5 učenika na 5 pričvršćenih stolica?

8. Na koliko se načina mogu razmestiti 6 učenika na: a) 9 pričvršćenih stolica ; b) 4 pričvršćene stolice?

9. Koliko se četvorocifrenih brojeve može sastaviti od cifara: a) {1,2,3,4,5,6} ; b) {0,1,2,3,4,5} ako se cifre: a) ne ponavljaju ; b) ponavljaju .

10. Od cifara 0,1,3,5,7,9 napisani su petocifreni brojevi sa pet različiti cifara. Koliko je među njima onih koji nisu deljivi sa 10 ?

11. Koliko dijagonala ima dvanaestougao?

12. Nekoliko drugova, prilikom susreta, su se rukovali jedan sa drugim. Koliko je bilo drugova
ako je bilo 10 rukovanja?

13. U ravni je dato 8 tačaka od kojih su 4 na jednoj pravoj , a od preostalih 4 nikoje
3 nisu na jednoj pravoj. Koliko pravih određuje ovih 8 tačaka?

14. Registracija automobila sadrži jedno slovo azbuke i jedan trocifreni broj (koji ne počinje nulom). Koliko se automobila može na taj način registrovati ?

15. Aca , Miša i Rajko čitaju: "Politiku" , "Novosti" i "Sport" i to svako čita samo jedne novine. Na pitanje, ko od njih čita koje novine njihova drugarica Vera je odgovorila: " Aca je čitao "Politiku", Miša nije čitao "Novosti", a Rajko nije čitao "Politiku". Odgovor je bio tačan samo za jednog čitaoca. Koje novine čitaju Aca, Miša i Rajko?

16. Koliko ima trocifrenih brojeva sa različitim ciframa, ako su sve cifre različite od nule?

17. Na jednoj proslavi svih 20 učesnika rukovali su se međusobno. Koliko je ukupno bilo rukovanja?

Kombinatorika

2010-03-22T18:20:00.000+01:00

Kombinatorika

1. Iz mesta A u mesto B vodi 3 puta, iz mesta B u mesto C 4 puta, a iz mesta S u mesto D 5 puteva. Na koliko se načina može doći:
a) iz mesta A u mesto C idući preko mesta B ?
b) iz mesta A u mesto D idući preko mesta B i C ?

2.Koliko ima trocifrenih brojeva čija je prva cifra: a) neparna b) parna. Koliko je među tim brojevima onih sa različitim ciframa?

3.Koliko se od slova a, b, c može formirati reči dužine 1, 2, 3 ako se slova u jednoj reči: a) mogu ponavljati b) ne mogu ponavljati. Uopštiti za slučaj n slova od kojih se formiraju reči dužine k.

4. Koliko se različitih prirodnih brojeva može napisati pomoću cifara 0, 1 i 2 ako se svaka cifra može ponoviti najviše dava puta ?

5. Koliko petocifrenih brojeva sa različitim ciframa se može formirati ako su prve dve cifre parne, a poslednje tri neparne?

6. Koliko kolona na tiketu sportske prognoze se mora popuniti da bi se obuhvatile sve kombinacije, ako predviđamo tri fiksna znaka, dva dvoznaka i ostale troznake?

7. Po rasporedu, danas su predviđeni sledeći časovi: matematika, istorija biologija, fizika i hemija. Na koliko se različitih načina može napraviti raspored?

8. Koliko dijagonala ima dvadesetougao ?

9. Koliko šestocifrenih brojeva napisanih ciframa 1, 2, 3, 4, 5, 6 (bez ponavljanja) počinje sa tri parne cifre?

10. Na polici se nalaze tri crvene, četiri žute i pet plavih knjiga. Na koliko načina se knjige mogu razmestiti tako da sve knjige iste boje stoje jedna do druge?

11. U ravni je dato pet tačaka. Koliko date tačke određuju različitih: a) duži, b) trouglova. Uopštiti rezultat za n tačaka i mnogougao od k temena.

12. Koliko različitih delilaca ima broj 210?

13. Na startu trke je 8 trkača. Na koliko se načina mogu: a) podeliti tri medalje b) odabrati trojica za finalnu trku?

14.Trideset učenika jednog odeljenja treba da izabere odeljensku zajednicu, i to: predsednika, blagajnika, sekretara i dva člana. Koliko ima različitih izbora?

15. U vrsti su 4 dečaka i 4 devojčice, ali tako da se između svaka dva dečaka nalazi devojčica. Koliko različitih rasporeda ima?

16. Koliko ima četvorocifrenih brojeva formiranih od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5 kod kojih su cifre 1 i 2 jedna do druge?

17. Na jednom skupu svi prisutni su se međusobno rukovali. Koliko je bilo prisutnih ako je bilo 66 rukovanja?

18. U kutiji se nalaze 4 bele i 5 crvenih kuglica. Na koliko načina se može izvući jedna bela i dve crvene kuglice ?

19. Koliko ima četvorocifrenih brojeva: a) sa različitim ciframa; b) ukupno ; formiranih od cifara 0, 1, 3, 5, 7 koji su deljivi sa 5?

20. Krokodil može imati najviše 68 zuba. Pokazati da među 1617 krokodila postoje dva sa istim rasporedom zuba.

Kvadrat racionalnog broja

2010-03-22T18:05:00.000+01:00

Kvadrat racionalnog broja

1.Dokazati tvrđenje (-x)2 = x2 .

2. Da li su tačna tvrđenja:
a) Ako je x = y onda je x2 = y2 ;
b) Ako je x2 = y2, onda je i x = y ?

3. Dokazati da je za svako racionalno x broj x2 ³ 0 .

4. Ako je x racionalan broj. šta je veće: x ili x2 ?

5. Da li su tačna tvrđenja :
Ako je x< y onda je i x2Ako je x2 > y2 onda je i x > y ?

6. Uporedi po veličini brojeve: a2, |a2| i |a|2 (a je racionalan broj).

7. Kvadrati prirodnih brojeva završavaju se ciframa 1,4,5,6,9 i 0. Dokazati.

8. Postoje li prirodni brojevi x i y takvi da je:
a) x2 + 5y = 88888888 ;
b) 1998x2 + 5y2 = 123456789 ?

9. Dokazati formule:
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ;
(x-y)2 = x2 - 2xy + y2 ;

10. Koristeći gornje formule izračunaj: 142, 992, 10022 .

11. Ako je n paran ceo broj onda je n2 paran prirodan broj. Važi li obrnuto ?

12. Izračunaj koliko je (10n + 5)2 i formuliši odgovarajuće pravilo .

13. Koristeći izvedeno pravilo iz prethodnog zadatka izračunati: 152, 452, 1052.

14. Ako je n prirodan broj, da li su moguće jednakosti:
a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-3)+(2n-1) = 9876543;
b) (n-1)2 + n2 + (n+1)2 = 666666?

15. Dokazati formulu: (x-y)(x+y) = x2 - y2 .

16. Izračunaj na najracionalniji način : 19×21, 99×101, 34×26 .

17. Koliko je:
a) 992 - 1;
b) 342 - 16 ;
c) 1012 + 1998 ?

18. Kvadrat celog broja pri deljenju sa 4 daje ostatak 0 ili 1. Dokazati

19. Dokazati da jednačina 4x2 + 5y2 = 10z + t nema rešenja u skupu celih brojeva ako broj t pripada {2,3,7,8}.

20. Dokazati da jednačina 2222x2 + 5555y2 = 99999999 nema rešenja u skupu celih brojeva .

Stepeni

2010-03-22T17:58:00.000+01:00

Stepeni

1. Izračunati: a) 54· 3n-6 + 15×3n-4 - 2n+1× 3n+1 : (2n× 33).

2. Izračunati: a × a2 × a3 ... × a 1995.

3. Dokazati da je 5n + 5n+1 + 5n+2 deljivo sa 155 za svaki prirodan broj n.

4. Šta je veće: a) 3303 ili 2454 ; b) 2 3000 ili 3 2000 ; c) 21988 ili 130284.

5. Odrediti prirodne brojeve m i n tako da važi jednakost: mn + mn+1 + mn+2 + mn+3 + mn+4 = 1984 .

6. Dokazati da je 71995 - 3 deljivo sa 10.

7. Odrediti najmanji prirodan broj n za koji je broj 10n - 1 deljiv sa 369.

8. Dokazati da su brojevi : 11994 + 21994 + 31994 + 41994 i 11995 + 21995 + 31995 + 41995 deljivi sa 10. Da li tvrđenje važi i za broj 11998 + 21998 + 31998 + 41998 ?

9. Ako je p prost broj tada je p1998 - 1 složen broj. Dokazati .

10. Posmatrati niz brojeva 6, 62, 6=... i napisati poslednje četiri cifre ovih brojeva: 0006, 0036, 0216, 1296, ... Dokazati da će se posle izvesnog broja stepenovanja niz od četiri poslednje cifre postati periodičan.

11. Postoji li stepen broja 3 koji se završava ciframa 0001?

12. Izračunati: x5:x7, x10:x12, x6:x= (x ¹ 0).

13. Dokazati da je x0 = 1 .

14. Izračunati: 2-3, 3-2, 10-1, x-4, y-n .

15. Šta je veće: a) (-1)1997 ili (-1997)1 ; b) (-1)(-1997) ili (-1997)(-1) .

16. Dat je zbir S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 21996 + 21997. Izračunati: a) S:2 ; b) S - S:2 ; c) S .

17. Koliko je: 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/310

18. Šta je veće: 333444 ili 444= ?

19. Dokazati da je 2424 + 24 deljivo sa 100.

20. Šta je veće: 200-300 ili 300-200 ?

Polinomi

2010-03-22T17:55:00.000+01:00

Polinomi

1. Dokazati identitete: a) (ax+by)2 + (ay-bx)2 = (a2+b2)(x2+y2) ; b) x(y-z) + y(z-x) - z(y-x) = 0

2. Dokazati da se polinom 2x2 + 2y2 može napisati u obliku zbira kvadrata dva binoma.

3. Rastaviti na činioce: a) a2 - 4a + 3 ; b) x2 - 2x - 8 ; c) 2y2 - 5y + 2 .

4. Rastaviti na proste činioce sledeće polinome : a) x2 - 1 - xy + y ; b) a2 - b2 - c2 + 2bc ; c) 2a2 + 2ab + 1/2(b2) .

5. Rastaviti na činioce: a) x4 + 64 ; b) a4 + 4b4 c) ac(a+c) - bc(b+c) + ab(a-b) .

6. Ako je n prirodan broj dokazati da je: a) n3 + 5n deljivo sa 6 ; b) n5 - n deljivo sa 30 ;
c) n3 + 2n deljivo sa 3 ;

7. Dokazati da ni za jedan prirodan broj n izraz n2 + n + 2 nije deljiv sa 49.

8. Ako je x ceo broj onda je (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10) + 24 deljivo sa 24. Dokazati.

9. Ako je p prost broj veći od 3, tada je p2 - 1 deljivo sa 24. Dokazati.

10. Odrediti sve proste brojeve p za koje je 2p + p2 takođe prost broj.

11. Rešiti po x i y sledeće jednačine: a) x3 - 12x2 + 35x = 0 ; b) x4 + 9 = 10x2 ; c) x2 + y2 + 6x - 2y + 10 = 0

12. Dokazati identitet: (ad+bc)2 + (ac-bd)2 = (ad-bc)2 + (ac+bd)2 .

13. Rastaviti na činioce polinome: a) a2 - a - 6 ; b) (x2 + y2) - 4x2y2

14. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z).

15. Odrediti prost broj p takav da je broj 2p+1 tačan kub nekog prirodnog broja.

16. Dokazati da se dati polinomi mogu napisati u vidu zbira kvadrata:
a) x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3
b) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz .

17. Dokazati da vrednost polinoma x6 - x5 + x4 + x2 - x + 1 ne može biti negativna.

18. Dat je polinom P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10. Za koju vrednost promenljive x polinom P(x) ima najmanju vrednost ? Kolika je ta vrednost ?

19. Ako je zbir dva broja konstantan, dokazati da je njihov proizvod najveći ako su ova dva broja jednaka među sobom.

20. Ako su a, b i c celi brojevi takvi da je a2 + b2 = c2, onda je bar jedan od brojeva a i b deljiv sa 3. Dokazati.

21. Razlika dva neparna broja je deljiva sa 5. Kojom cifrom se završava razlika kubova tih brojeva ?

22. Ako je x- 2y + 3z = 0, onda polinom P(x,y,z) = 7xy + 11yz - 7xz - 2x2 - 6y2 - 3z2 + 5 ima konstantnu vrednost. Dokazati.

23. Ako je x+y+z = 0 i x2 + y2 + z2 = 1 izračunati koliko je x4 + y4 + z4 ?

24. Ako je a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b) različito od 0, onda su brojevi a, b , c međusobno različiti. Dokazati.

25. Ako su x, y, z celi brojevi i ako je x+y+z = 0, dokazati da je broj x3 + y3 +z3 deljiv sa 3.

26. Dokazati da se polinom P(x,y,z) = 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz može napisati u vidu zbira kvadrata nekoliko polinoma.

27. Ako je a3 + b3 + c3 = 3abc , tada je a+b+c = 0 ili je a = b = c . Dokazati.

28. Neka su a, b, c celi brojevi takvi da je a2 + b2 = c2. Dokazati da je abc deljivo sa 60.

Matematički rebusi

2010-03-21T10:25:00.000+01:00

Matematički rebusi

1. Umesto svake zvezdice napisati jednu cifru tako da se oduzimanje ***** - **** = *** bude ispravno, ako se umanjenik, umanjilac i razlika čitaju s leva na desno jednako kao i s desna na levo.

2. Da li rebus *** + *** = *** ima rešenje ako se svaka od cifara 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 može upotrebiti samo jednom?

3. Da li rebus **** - *** = *** ima rešenje ako se svaka od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 može upotrebiti samo jednom?

4. U broju ********** umesto zvezdica rasporediti cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 tako da se svaka cifra upotrebi samo jednom i da dobijeni broj bude deljiv sa 99. Koliko rešenja ima ? Koji je najmanji, a koji najveći takav broj ?

5. Dešifrovati množenje: *4* × 15 = 3*9* .

6. Ako su h i u prirodni brojevi dešifrovati množenje: x × y × 45 = 22** . Koliko ima rešenja?

7. Odrediti sve prirodne brojeve h i u tako da je tačna jednakost x × y × 22 = 3*4* .

8. Koji trocifreni broj ima osobinu da se 6 puta smanji ako mu se izbriše cifra desetica?

9. Dešifrovati kvadriranje: (***)2 = *00**.

10. Cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 treba rasporediti umesto zvezdica tako da se svaka cifra upotrebi samo jednom, a da jednakost * + * = * - * = * × * = * * : * bude tačna.

11. Odrediti prirodne brojeve m i n tako da je tačna jednakost: 999 999 999 × m = 111...111 (u dekadnom zapisu je n jedinica).

Izračunavanje površine ravnih figura

2010-03-21T10:21:00.000+01:00

Izračunavanje površine ravnih figura

1. Duž AC dužine a je svojom unutrašnjom tačkom B podeljena u odnosu 3 : 2. Nad dužima AB i BC sa raznih strana u odnosu na AC konstruisani su kvadrati ABDE i BCFG. Neka su M i N preseci dijagonala dobijenih kvadrata. Izračunati površinu četvorougla MNCD u funkciji od date duži a.

2. Dijagonale konveksnog četvorougla ABCD seku se u tački O. Dokazati da je proizvod površina trouglova AOB i COD jednak proizvodu površina trouglova BOC i DOA.

3. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA trougla ABC u odnosu: a) 1:1 ; b) 2:1 ; c) m:n. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla MNP?

4. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine P. Neka su K, L, M i N redom središta stranica AB, BC, CD i DA četvorougla. Dokazati da je KLMN paralelogram i izračunati njegovu površinu.

5. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su K, L, M i N redom proizvoljne tačke na stranicama AB, BC, CD i DA tog paralelograma. Dokazati da ako je površina četvorougla KLMN jednaka 5 cm2, onda je jedna od dijagonala četvorougla paralelna jednoj od stranica paralelograma.

6. Dat je četvorougao ABCD čija je površina P. Na stranicama AB i CD date su tačke K, L, M i N tako da je AK = KL = LB i CM = MN = ND. Izračunati površinu četvorougla KLMN. Šta bi bilo ako bi se stranice AB i CD podelile na 5, 7, ..., 2n+1 jednakih delova?

7. Stranice AB, BC i CA trougla ABC, produžene su preko temena B, C, A za svoju dužinu, tako da je AB = BA', BC = CB' i CA = AC'. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla A'B'C'?

8. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Dokazati da je četvorougao MNPQ paralelogram i izračunati njegovu površinu.

9. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine 1996 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Izračunati površinu četvorougla MNPQ.

10. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 100 cm2. Neka su M, N, P i Q redom središta stranica AB, BC, CD i DA. Presekom duži AP, BQ, CM i DN definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu. Šta se dešava ako je AM:MB = BN:NC = CP:PD = DQ:QA = m:n ? Da li se sličan problem može definisati i ako je četvorougao ABCD paralelogram?

11. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 81 cm2. Neka su K i L, M i N, P i Q, R i S tačke koje stranice AB, BC, CD i DA dele na tri jednaka dela. Presekom duži KN, LR, MQ i PS definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu.

12. Može li se dati kvadrat podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih kvadrata?

13. Da li je moguće dati jednakostranični trougao podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih manjih jednakostraničnih trouglova?

14. Neka su P, Q, R i S redom središta stranica AB, BC, CD i DA kvadrata ABCD. Duži AR, BS, CP i DQ seku se i grade novi četvorougao KLMN. Ako je AB = 10 cm, kolika je površina četvorougla KLMN?

15. Dat je proizvoljan konveksan četvorougao ABCD. Tačke K i L su redom središta stranica AB i CD. Prave AM i KD seku se u tački M, a prave BM i KC u tački L. Dokazati da je površina četvorougla KLMN jednaka zbiru površina trouglova AND i BCL.

16. Dat je trougao ABC čija je površina 1999 cm2. Stranice AB, BC i CA produžene su preko temena B, C i A ya svoju dužinu, tako da je AB = BA1, BC = CB1 i CA = AC1. Izračunati površinu dobijenog trougla A1B1C1.

17. Dat je kvadrat S dužine stranice 20. Neka je M skup čiji su elementi 4 temena kvadrata S i 1999 proizvoljnih unutrašnjih tačaka kvadrata S. Dokazati da postoji trougao sa temenima iz skupa M čija je površina manja od 0,1.

18. Može li se dati jednakokrako-pravougli trougao podeliti na a) 10 ; b) 100 ; c) 1999 manjih neobavezno podudarnih jednakokrako pravouglih trouglova?

19. Svaka stranica pravilnog šestougla ABCDEF produžena je za svoju dužinu tako da je AB = BA', BC = CB', CD = DC', DE = ED', EF = FE', FA = AF' . Ako je površina šestougla ABCDEF jednaka P, odrediti površinu šestougla A'B'C'D'E'F'.

20. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA jednakostraničnog trougla ABC u odnosu 3:4. Prave AN, BP i CM seku se i grade trougao QRS. Ako je površina trougla ABC jednaka 1998 cm2, kolika je površina trougla QRS ?

Pitagorina teorema - Konstruktivni zadaci

2010-03-21T10:15:00.000+01:00

Pitagorina teorema - Konstruktivni zadaci

1. Konstruisati kvadrat čija površina jednaka zbiru (razlici) površina dva data kvadrata.

2. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površine tri data kvadrata.

3. Konstruisati jednakostranični trougao čija je površina jednaka razlici površina dva data jednakostranična trougla.

4. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruisati kvadrat koji ima površinu jednaku površini datog pravougaonika.

5. Konstruiši kvadrat čija je površina jednaka površini jednakostraničnog trougla stranice a.

6. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini kvadrata date stranice a.

7. Konstruisati jednakokrako-pravougli trougao čija je površina jednake zbiru površinama dva data:
a) jednakokrako- pravougla trougla ; b) kvadrata ; c) jednakostranična trougla.

8. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.

9. Nad stranicama pravilnog šestougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.

10. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane:
a) jednakostranični trouglovi ; b) pravilni šestouglovi ; c) pravougaonici čije se stranice odnose kao 2:1. Dokazati da je površina figure nad hipotenuzom jednaka zbiru površina figura nad katetama.

11. Neka se dijagonale trapeza ABCD seku u tački S. Tada je površina trougla ASD jednaka površini trougla BSC. Dokazati.

12. Dat je konveksni četvorougao ABCD. a) Konstruisati trougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla. b) Konstruisati pravougaonik čija je površina jednaka površini datog četvorougla.

13. Dat je konveksni četvorougao ABCD. Konstruisati pravilni šestougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla.

14. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površina konveksnog četvorougla ABCD
i konveksnog petougla MNPQR.

15. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini datog pravougaonika.

16. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u šestougao. Izračunati površinu tako dobijenog šestougla u funkciji od a i b ?

Pitagorina teorema

2010-03-21T10:10:00.000+01:00

Pitagorina teorema

1. Dokazati direktnu Pitagorinu teoremu (ako je trougao sa stranicama a £ b < b2 =" c2)"> c2 ; ako je trougao tupougli, onda je a2 + b2 < c2. Važe li obrnuta tvrđenja ?

2. Dokazati obrnutu Pitagorinu teoremu: Ako su a, b i c stranice trougla i ako je a2 + b2 = c2, onda je trougao pravougli.

3. Proverite da li je trougao sa stranicama 29k, 20k i 21k pravougli.

4. Kakav je trougao (oštrougli, pravougli, tupougli) čije su stranice: a) 5, 6 i 7 cm; b) 10, 11 i 15 cm ?

5. Neka je c merni broj hipotenuze i d merni broj zbira kateta a i b pravouglog trougla. Izraziti površinu ovog trougla u funkciji od c i d.

6. U kvadratu ABCD tačka M je središte sranice AB, a N je tačka stranice AD, takve da je AN = 2× ND. Odrediti površinu i obim kvadrata ABCD ako je MN = 1 cm.

7. Stranica AB pravougaonika ABCD je 20 cm, a normalno rastojanje temena B od dijagonale AC je 12 cm. Naći obim i površinu pravougaonika.

8. Dat je pravougli trougao čije katete su 16 cm i 30 cm. Nad hipotenuzom tog trougla kao stra-nicom konstruisan je kvadrat. Izračunati odstojanje centra tog kvadrata od temena pravog ugla u pravouglom trouglu.

9. Neka je M proizvoljna tačka na hipotenuzi pravouglog trougla, a M’ i M” njene projekcije na katete trougla. Odrediti položaj tačke M za koji duž M’M” ima najmanju moguću vrednost.

10. Izračunaj površinu pravouglog trougla čija je hipotenuza 12 cm, a jedan oštar ugao je: a) 15° ; b) 22° 30’ .

11. Ako je u pravouglom trouglu jedan ugao 15° onda je hipotenuzina visina četiri puta manja od hipotenuze. Dokazati.

12. Tačka u kojoj kružnica upisana u pravougli trougao dodiruje hipotenuzu, deli hipotenuzu na dve duži čije su dužine 4 cm i 7 cm. Izračunati površinu tog pravouglog trougla.

13. Nad stranicama jednakokrako pravouglog trougla katete a sa spoljnje strane su konstruisani kvadrati. Izračunati površinu trougla koga čine centri konstruisanih kvadrata.

14. Snažna oluja polomi stablo visoko 16 m i pri tom vrh drveta padne 8 mdaleko od podnožja stabla. Na kojoj visini se polomilo stablo.

15. Posmatrač vidi objekat (duž) AB iz dve tačke C i D među kojima je rastojanje 300 m pod uglovima od 30° . Prave AD i BC su međusobno normalne. Kolika je dužina objekta AB.

16. Normale konstuisane iz temena B i D pravougaonika na dijagonalu AC, dele dijagonalu na tri jednaka dela. Ako je dužina jedne stranice pravougaonika , kolika je dužina druge stranice pravougaonika?

17. Vrt ima oblik pravougaonika sa temenima A,B,C,D. U vrtu je česma koja je od temena A udaljena 14 cm, a od temena B udaljena 4 cm i od temena C udaljena 12 cm. Koliko je česma udaljena od temena D ?

18. Oko jednakokrakog trougla , čija je osnovica 48 cm, a krak 40 cm, opisan je krug. Odrediti poluprečnik tog kruga.

19 . Unutrašnji uglovi trougla odnose se kao 2 : 3 : 7. Dužina najveće stranice trougla je 1 m. Odrediti dužine ostalih stranica trougla.

Mnogougao

2010-03-21T10:07:00.000+01:00

Mnogougao

1. Može li zbir unutrašnjih uglova mnogougla biti: 123456789100° ?

2. Sve stranice datog n-tougla su jednake. Da li je dati n-tougao pravilan ?

3. Svi uglovi datog n-tougla su jednaki. Da li je dati n-tougao pravilan ?

4. Dokazati da je spoljašnji ugao pravilnog mnougla jednak centralnom uglu tog mnogougla

5. Dokazati da je unutrašnji ugao pravilnog n-tougla jednak (n-2)180° /n .

6. Postoji li pravilni mnogougao čiji je unutrašnji ugao jednak: a) 144° ; b) 128° ?

7. Postoji li pravilni mnogougao čiji je spoljašnji ugao jednak: a) 18° ; b) 11° ?

8. Koliko stranica ima mnogougao koji ima 66 dijagonala ?

9. Postoji li n-tougao kod koga je: Broj dijagonala jednak broju stranica ?

10. Ako se broj stranica mnogougla poveća za 27 onda se broj dijagonala poveća za 1998. Koliko dijagonala ima taj mnogougao ?

11. Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za 3 onda se broj njegovih dijagonala poveća dva puta. Koliki je spoljašnji ugao tog mnogougla ?

12. Broj dijagonala mnogougla sa m stranica veći je od broja dijagonala mnogougla sa n stranica za 1999. Odrediti m i n.

13. Koliki je zbir unutrašnjih uglova bilo koje zvezde petokrake.

14. Postoji li konveksni petougao čije su stranice 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm i 11 cm ?

15. U konveksnom četvorouglu ABCD važi jednakost: AB + BD = CD + AC. Dokazati nejednakost: AB < AC.

16. Nad stranicama kvadrata stranice a = 10 cm sa spoljnje strane su konstruisani jednakostranični trouglovi. Odrediti obim i površinu tako dobijenog mnogougla (osmougla). Odrediti obim i površinu mnogougla čija su temena slobodna temena jednakostraničnih trouglova, tj temena koja ne pripadaju kvadratu.

17. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a = 30 cm sa spoljnje strane su konstruisani kvadrati. Slobodna temena kvadrata, tj. ona temena koja ne pripadaju trouglu međusobno su spojena. Izračunati obim i površinu tako dobijenog šestougla.

18. Izračunati obim i površinu pravilnog dvanaestougla, ako je poluprečnik kruga opisanog oko mnogougla jednak 12 cm.

Polinomi i algebarski razlomci

2010-03-21T10:03:00.000+01:00

Polinomi i algebarski razlomci

1. Ako je a ceo broj koji nije deljiv ni sa 2 ni sa 3 onda je broj 4a2 + 3a + 5 deljiv sa 6. Dokazati.

2. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z) .

3. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je: x2 + y2 - 6x - 10y + 33 = 0.

4. Ako je n prirodan broj onda je n3 + 1997n + 1998 deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1998.)

5. Dokazati da je zbir kvadrata pet uzastopnih prirodnih brojeva ne može biti kvadrat nijednog prirodnog broja. (R – 1998.)

6. Dokazati da je 1991×1993×1995×1997 + 16 potpun kvadrat nekog prirodnog broja. Ako je n prirodan broj, da li je (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+3) + 16 takođe potpun kvadrat ? (R – 1997.)

7. Ako je n prirodan broj onda je 11n3 + n deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1997.)

8. Dat je polinom P(x) = x3 + 2x2 – x – 2. Ako je p prost broj, onda je P(p) deljivo sa 24. Dokazati. Odrediti najmanji prost broj p takav da je P(p) deljivo sa 120. (R – 1996.)

9. Dat je polinom P = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx. Odrediti za koje vrednosti x, y i z dati polinom nije pozitivan.

10. Neka su x, y i z realni brojevi takvi da je: (y-z)2 + (z-x)2 + (x-y)2 = (y+z-2x)2 + (z+x-2y)2 +
(x+y-2z)2. Dokazati da je x = y = z.

11. Ako je ad = bc onda je (ab + cd)2 = (a2 + c2)(b2 + c2). Dokazati.

12. Za koje vrednosti x, y i z važi jednakost: x1988 + y6 + z4 + 146 = 2x994 + 16y3 + 18z2.

13. Odrediti vrednost izraza P(x,y) = x1989 + 1989y, ako je x2 + y3 + 2x – 6y + 10 = 0.

14. Neka je x = 444...444 (11 četvorki). Dokazati da je broj x2 – x – 2 deljiv sa 270.

15. Dokazati da je zbir kubova tri uyastopna prirodna broja deljiv sa 9.

16. Izračunati zbir 19912 – 19902 + 19892 – 19882 + ... + 32 – 22 + 12 .

17. Dat je polinom P(t) = t4 – t + 0,5. Dokazati da je za svaki realan broj t P(t) ¹ 0 i P(t) > 0 .

18. Da li postoji prirodan broj n takav da je n3 – n + 2n deljiv sa 1992 ?

19. Dat je broj M = 1991 – 9119. Dokazati da je M > 0 i da je M deljivo sa 72.

20. Neka je a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 i ac + bd = 0. Izračunati ab + cd .

Testiraj svoje reflekse; Vežbe koncentracije

2010-03-21T10:01:00.000+01:00

ZABAVNO - Testiraj svoje reflekse; Vežbaj koncentraciju
IGRA je jednostavna - STAVI CURSOR [ miš ] na CRVENO POLJE,

KLIKNI I KRENI !!!

Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org

Igrice za decu - Testiraj svoje reflekse; Vežbaj koncentraciju

Igra pamćenja * memorija

2010-03-21T09:58:00.000+01:00

IGRICA * igra pamćenja [ 6 X 6 polja ]
18. parova zanimljivih sličica

Igrice za decu - Testiraj svoju memoriju * Igra pamćenja

Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org

IGRICA * IKS - OKS

2010-03-21T09:54:00.000+01:00

IKS - OKS [u društvu ili sam protiv računara]
IGRA JE JEDNOSTAVNA; IKS - OKS , KLIKNI I KRENI !!!

Igrice za decu - Popularna igrica IKS - OKS
Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

2008-08-27T13:18:00.000+02:00

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

1. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su jednako udaljene od datih tačaka A i B.

2. Dat je ugao xOy. Konstruisati sve tačke u ravni koje su jednako udaljene od krakova datog ugla.

3. Kroz datu tačku M konstruisati pravu n koja je normalna na datoj pravoj p.

4. Data je tačka O. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od tačke O udaljene 2 cm.

5. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su 3 cm udaljene od date prave p.

6. Data je duž AB = 5 cm. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od date duži udaljene
manje od 2 cm.

7. Data je prava p i tačke A i B van nje. Na pravoj p konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

8. Data je kružnica k i tačke A i B van nje. Na kružnici k konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

9. Dat je trougao PQR i tačke A i B van njega. Na stranicama trougla PQR Konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

10. U ravni su dati prava p i tačka M. Korišćenjem samo šestara konstruisati tačku N koja je simetrična sa M u odnosu na p.

11. Dat je kvadrat ABCD i tačka M. Koristeći samo lenjir (tj konstruišući samo prave) konstruisati tačku N koja je simetrična sa M u odnosu na pravu AC.

12. Prave p i q seku se van ravni crteža u tački O. Konstruisati simetralu ugla pOq.

13. Data je kružnica k i van nje tačke A i B. Koristeći samo šestar (tj. konstruišući samo krugove) konstruisati presek kružnice sa pravom AB.

14. Date su tačke P i Q i prava s. Konstruisati ugao POQ, ako se zna da je data prava s njegova simetrala.

15. Data je prava p i sa iste strane prave p date su tačke A i B. Na pravoj p Konstruisati tačku M tako da je zbir rastojanja AM + BM najmanji moguć.

16. Na pravougaonom bilijarskom stolu ABCD nalaze se dve loptice M i N. Kako treba udariti lopticu M da bi posle jednog (dva, ili tri) odbijanja udarila lopticu N.

17. Dati su trougao ABC i duž MN. Konstruisati duž PQ koja je jednaka i paralelna sa MN,
tako da tačke P i Q pripadaju stranicama trogla ABC.

18. Dat je ugao xOy i tačke A i B u njemu. Konstruisati tačku M na kraku Ox i tačku N na kraku Oy tako da je duž MN jednaka i paralelna sa AB.

19. Jednakokraki trouglovi ABC i MNP konstruisani su tako da osnovice BC i NP leže na istoj
pravoj p. Konstruisati pravu q paralelnu sa p tako da odsečci prave q unutar datih trouglova budu jednaki.

20. Data je duž AB i tačka C van nje. Konstruisati kružnicu k koja sadrži kroz tačke A, B i C.

APSOLUTNA VREDNOST

2008-08-27T13:04:00.000+02:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Izračunati vrednost izraza A = la+3l + la-3l + la-1l, ako je a = - 10 .

2. Ako je x = -6 izračunaj vrednost izraza (2 lxl + x):3 + lxl + x .

3. Za x = -1 i y = -5 izračunaj vrednost izraza: lx-yl + 2 lyl - (x+y) .

4. Izračunati sumu: l1-2l + l3-4l + l5-6l + ... + l1998-1999l + l1999-2000l.

5. Odrediti odstojanje tačaka A(3), B(-7), C(-2), D(0) od tačke: a) R(0) ; b) Q(-5); c) R(5) .

6. Rešiti jednačine: lxl = 9 ; lxl = 0 ; lxl = - 3 .

7. Rešiti jednačine: lxl - l-5l = -2 ; lx:2l = 1 + l-3l .

8. Odrediti sve tačke koje su od tačke A(3), B(-5) i C(0) udaljene za 2.

9. Rešiti jednačine: lx-3l = 2 ; lx-1l + 4 = l-3l ; 2lx+2l - 3 = 7 .

10. Rešiti jednačine: 14 - lx+3l = 9 ; lxl + 3 = 5 ; lxl - 12 = 9 .

11. Rešiti nejednačine: lxl <> 2 ; lxl >= -4 ; lxl < -1 .

12. Rešiti nejednačine: lx-2l < 3 i lx-2l > 3. Napraviti razliku skupova njihovih rešenja.

13. Rešiti nejednačinu 3lx+2l + 23 =< 47.

14. lzračunati zbir rešenja jednačine: a) lxl = a ; b) lx-3l = a .

15. Data je nejednačina lxl < class="GramE">rešenja ; b) proizvod svih njenih rešenja ?

16. Šta je veće: a) la+bl ili lal + lbl ; b) llal - lbll ili la+bl ?

17. Rešiti jednačine:
a) lx-1l = lx+5l ;
b) lx+1389l - lx+1999l = 12;
c) lx-1l + lx-3l = l4x-2l;
d) lxl + lx-6l = l6-2xl

SABIRANJE I ODUZIMANJE CELIH BROJEVA

2008-08-27T12:57:00.000+02:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Napisati deset uzastopnih celih brojeva tako da su:
a) samo četiri broja pozitivna;
b) samo tri broja negativna .

2. Izračunati:
a) (-1996) + (-1995) + ... + 1996 + 1997 + 1998;
b) (-1994) × (-1993) × ... × 1995 × 1996 × 1997 × 1998 ;

3. Koliko je:
a) (-25) + (-24) + ... + 63 + 64 ;
b) (-85) + (-84) + ... + 37 + 38 ?

4. Izračunati:
a) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... + 1995 - 1996 + 1997 – 1998;
b)1 - 3 + 5 - 7 + ... + 1993 - 1995 + 1997 - 1999.

5. Rešiti sledeće jednačine:
a) (-10) + (-9) + ... + (x-1) + x = -40 (x Î Z);
b) h + (h+1) + ... + 17 + 18 = 51 (x Î Z).

6. Zbir 111 uzastopnih celih brojeva jednak je 0. O kojim brojevima je reč ?

7. Odrediti 1999 uzastopnih celih brojeva tako da je njihov zbir jednak 1999.

8. Zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva je 25. O kojim brojevima je reč?

9. Odrediti sve uzastopne cele brojeve tako da je njihov zbir -35.

10. Ako je x + y = 0, onda je x - y = 0. Dokazati.

11. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je x + y = 0 i 2x + 3y = 25.

12. Odrediti sve cele brojeve x, y i z tako da je: x + y + z = 0, x - y + z = 2 i x + z = y.

13. Odrediti sve cele brojeve x, y i z tako da je: x + y - z = 3, x + y + z = 1 i x + y + z = 3.

14. Koliko rešenja ima jednačina x + y = 10, ako su x,y Î Z.

15. Da li je moguće u polja kvadrata 3 x 3 rasporediti brojeve -1, 0 i 1 tako da je zbir u svakoj koloni, vrsti i dijagonali različit?

16. Na koliko načina se broj 1998 može prikazati kao zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva?

UGLOVI TROUGLA

2008-08-27T12:39:00.000+02:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Ako je zbir dva spoljašnja ugla trougla 270^o, onda je taj trougao pravougli. Dokazati.

2. Spoljašnji ugao jednakokrakog trougla je 100^o. Izračunati unutrašnje uglove trougla.

3. Ako se spoljašnji ugao kod temena A poveća za 35^o, a spoljašnji ugao kod temena B smanji za 20^o, tada se unutrašnji ugao kod temena C smanji za svoju četvrtinu. Izračunati unutrašnji ugao kod temena C.

4. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla i simetrala spoljašnjeg ugla trougla iz istog temena seku se pod pravim uglom. Dokazati.

5. U trouglu ABC simetrala Ð ACB obrazuje sa stranicom AB ugao od 128^o. Izračunati oštar ugao između prave AB i simetrale spoljašnjeg ugla kod temena C.

6. Simetrale oštrih uglova pravouglog trougla seku se pod uglom od 135^o. Dokazati.

7. U trouglu ABC simetrala spoljašnjeg ugla C i simetrala spoljašnjeg ugla B, seku se u tački M. Izračunati Ð BMC, ako je Ð BAC = 50^o.

8. Izračunati ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, ako se visine koje odgovaraju kracima trougla seku pod uglom od 48^o .

9. U trouglu ABC, duž BK je simetrala Ð ABC (K Î AC). Ako je Ð BKC = 70o kolika je razlika ÐACB - ÐCAB ?

10. Hipotenuza AB pravouglog trougla ABC produžena je preko temena A do tačke M tako da je AC = AM i preko temena B do tačke R tako da je BR = BC. Izračunati ugao MCR .

11. Jedan unutrašnji ugao trougla je 75^o. Izračunati ostale uglove trougla, ako se zna da prava koja sadrži teme datog ugla deli dati trougao na dva jednakokraka trougla.

12. Izračunati uglove jednakokrakog trougla ako se zna da simetrala ugla na osnovici seče
simetralu ugla pri vrhu pod uglom od 130^o .

13. Hipotenuzina visina i simetrala pravog ugla seku se pod uglom od 12^o. Izračunati uglove tog trougla .

14. Spoljašnji uglovi trougla su 2x, 20x i 13x. Izračunati unutrašnje i spoljašnje uglove trougla .

15. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, B i C. Ako je O centar kruga i Ð ACB = j , onda je Ð AOB = 2j. Dokazati.

16. Nad duži AB kao prečnikom konstruisana je kružnica. Neka je M proizvoljna tačka na toj
kružnici. Dokazati da je Ð AMB = 90° .

17. Nad duži AB kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Dokazati: a) ako je tačka M u krugu onda je Ð AMB > 90° ; b) ako je tačka M van kruga onda je ÐAMB <>° .

18. Nad stranicom CD kvadrata ABCD konstruisan je jednakostranični trougao CDE. Izračunati uglove trougla ABE

DIRIHLEOV PRINCIP

2008-08-27T12:27:00.000+02:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Dato je 1999 prirodnih brojeva. Dokazati da je bar 1000 datih brojeva iste parnosti.

2. Među 100 proizvoljnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati.

3. Dato je 999 proizvoljnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom. Da li tvrđenje važi za 998 prostih brojeva ?

4. Dokazati da se od proizvoljnih 6 celih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika deljiva sa 5.

5. Stranice i visine trougla AVS na proizvoljan način obojene su plavom ili crvenom bojom. Dokazati da se na tako dobijenoj slici uvek može uočiti trougao čije su sve stranice iste boje.

6. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoje dve tačke iste boje (plave ili bele) čije je rastojanje 1 sm .

7. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoji pravougli trougao čija je hipotenuza 1998 cm i čija su sva temena iste boje.

8. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji duž čije središte je iste boje kao i njeni krajevi.

9. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji jednakostranični trougao čija su sva tri temena iste boje.

10. Svaka od stranica i dijagonala konveksnog šestougla na proizvoljan način je obojena plavom ili crvenom bojom. Dokazati da postoji trougao čija su temena temena šestougla i čije su sve stranice iste boje.

11. Nespretni učenik je mastilom zabrljao pravougaoni list hartije dimenzija 21 cm h 30 cm, tako da je ukupna površina svih nastalih mrlja 314 cm2. Dokazati da na tom listu hartije postoje dve tačke, simetrične prema jednoj od simetrala pravougaonika, koje se nalaze u neizbrljanom delu papira.

12. Nekoliko lukova date kružne linije obojeno je plavom bojom tako da je zbir dužina svih obojenih lukova manji od polovine obima kružne linije. Dokazati da postoji prečnik kruga čije su obe krajnje tačke iste boje.

13. U kutiji se nalazi 10 belih i 7 crvenih kuglice. Koliko najmanje kuglica treba uzeti iz kutije (bez gledanja), da bi među njima sigurno bile 3 crvene kuglice ?

14. U vreći se nalazi 70 loptica raznih boja: po 20 crvenih, plavih i žutih, dok su ostale crne. Koliko najmanje loptica treba uzeti slučajnim izvlačenjem iz kutije da bi među njima bilo ne manje od 10 loptica iste boje?

15. Prema najnovijem popisu stanovništva u 5990 mesnih zajednica na teritoriji šireg područja grada Beograda živi 1883764 stanovnika. Dokazati da postoje bar dve mesne zajednice sa istim brojem stanovnika.

16. Na prvenstvu škole u košarci svaka sa svakom igra 10 ekipa. Dokazati da u svakom trenutku takmičenja postoje dve ekipe sa istim brojem odigranih utakmica.

ODABRANI ZADACI SA RACIONALNIM BROJEVIMA

2008-08-27T12:05:00.000+02:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Šta je veće: - 1997/1998 ili - 1998/1999.

2. Odrediti sve razlomke sa jednocifrenim imeniocem od kojih je svaki veći od - 8/9 a manji od - 7/9.

3. Koliko je racionalnih brojeva sa imeniocem 5 većih od -1 a manjih od 1?

4. Šta je veće x ili 1/x ako je x ¹ 0 i x e Z?

5. Mile je otpio 1/6 šolje crne kafe i dolio mleko, zatim je otpio 1/3 šolje i dolio mleko, zatim je otpio 1/2 šolje i dolio mleko. Na kraju je popio celu šolju tečnosti. Cega je popio više:
kafe ili mleka ?

6. Razlika dva broja je 13,86. Ako se većem broju pomeri zarez: a) u desno; b) u levo za jedno mesto dobija se manji broj. Koji su to brojevi ?

7. Šta je veće: - 299/999 ili - 2999/9999 ?

8. Koliko ima razlomaka sa jednocifrenim imeniocem koji su veći od -1/2, a manji od 1/3 ?

9. Odredititi dva racionalna broja čiji je zbir -1/5, a količnik 1/5 ?

10. Racionalan broj - 4/7 je nastao skraćivanjem racionalnog broja čiji brojilac i imenilac imaju zbir 885. Odrediti prvobitni razlomak.

11. Kazaljke na časovniku pokazuju 9 sati. Posle koliko vremena će se one prvi put poklopiti ?

PROSTI BROJEVI. DELJIVOST

2008-08-27T11:55:00.000+02:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Dokazati :
a) broj 2 je jedini paran prost broj
b) skup svih celih brojeva je beskonačan
c) svi prosti brojevi veći od dva su neparni.

2. Skup prostih brojeva je beskonačan. Dokazati.

3. Svi prosti brojevi veći od 2 su oblika 4k - 1 ili 4k + 1. Svi prosti brojevi veći od 3 imaju oblik 6k - 1 ili 6k + 1. Obrnuto ne važi. Dokazati.

4. Odrediti sve proste brojeve r takve da je
a) p + 5 prost broj v) 3^p + p³ prost broj
b) p² + 9 prost broj g) p + 2 i p + 4 prosti brojevi.

5. Ako je p prost broj onda je :
a) p + 7 složen broj
b) p¹⁹⁹⁵ + p¹⁹⁹⁶ složen broj
v) p¹⁹⁸⁷ + p¹⁹⁸⁸ + 1988 složen broj. Dokazati.

6. Ako su p i 8p - 1 prosti brojevi onda je 8p + 1 složen broj. Dokazati.

7. Dokazati da postoji 11 uzastopnih složenih brojeva.

8. Zbir dva prirodna broja je 288 , NZD je 36. Koji su ti brojevi?

9. Postoji li prirodan broj čiji je proizvod cifara 650. Postoji li prirodan broj čiji je zbir cifara 650 ?

10. Odredi najmanji prirodan broj k kojim treba pomnožiti broj 300 da se dobije kub prirodnog broja.

11. Dokazati da je broj: a) 1987¹⁹⁸⁶ + 1 ; b) 1995¹⁹⁹⁶ - 345 deljiv sa 10.

12. Mirko je kupio nekoliko olovki po 27 konvertibilnih dinara i nekoliko sveski po 72 konvertibilna dinara. Prodavac mu je za to naplatio 1234 konvertibilna dinara. Kako je Mirko znao da je prodavac pogrešio?

13. Proizvod 2 dvocifrena prirodna broja zapisan je samo pomoću četvorki. O kojim brojevima je reč ?

14. Odrediti najmanji prirodan broj koji pri deljenju sa 2 daje ostatak 1, pri deljenju sa
3 daje ostatak 2, a pri deljenju sa 8 daje ostatak 7.

15. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve čiji je zbir cifara 10, a deljivi su sa 11

ODNOS STRANICA I UGLOVI TROUGLA

2008-08-27T11:34:00.001+02:00

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. U pravouglom trouglu stranica koja leži naspram pravog ugla zove se hipotenuza, a stranice koje se nalaze naspram oštrih uglova su katete. Dokazati da je hipotenuza veća od obe katete pojedinačno, a manja od njihovog zbira.

2. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla.

3. Odrediti sve trouglove čiji je obim 10 cm, a merni brojevi stranica su celi brojevi.

4. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ³ b ³ c, onda je potreban i dovoljan uslov da trougao postoji b + c > a. Dokazati.

5. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina
trougla. Dokazati da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme.

6. Simetrale uglova trougla AVS seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla.

7. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je
svaki od tih delova manji od susedne stranice.

8. U jednakokrakom trouglu AVS ( AS = AV) osnovica VS je produžena preko temena S do
proizvoljne tačke D. Dokazati da je Ð AVS > Ð ADC .

9. Duž koja povezuje teme sa sredinom naspramne strane naziva se težišna duž trougla.
Neka je dat trougao AVS i neka je D presek simetrale ugla ASV sa stranicom AV, a E središte duži AE. Dokazati da je težišna duč SE veća od simetralne duži CD.

10. Dokazati da je svaka težišna duž trougla manja od: a) poluobima trougla ; b) poluzbira
stranica koje polaze iz istog temena sa težišnom duži.

11. Zbir svih visina trougla uvek je manji od obima tog trougla. Dokazati.

12. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od poluobima, a manji od obima trougla.

13. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da važe nejednakosti: Ð AMV > Ð ASV

14. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da je zbir duži AM + VM + SM veći od poluobima, a manji od obima trougla AVS.

15. Na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena C trougla AVS izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MV > AS + VS.

16. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, V i S. Ako je O centar kruga i Ð ASV = j , onda je Ð AOV = 2j .

17. Nad duži AV kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Neka je M proizvoljna tačka na toj kružnici k. Dokazati da je Ð AMV = 90° .

18. Hipotenuza pravouglog trougla je dva puta veća od katete tog trougla. Izračunati uglove tog trougla.

Odabrani zadaci i KOMBINATORIKA

2008-08-27T11:34:00.000+02:00