ZADACI za učenike osnovne škole * MaTeMaTiKa za osnovce
Na blogu se nalazi više navigacija do menija zadataka i to: za četvrti i peti razred, zatim zadaci za
šesti razred, meni sa zadacima za sedmi razred, kao i meni sa igricama za decu * MaTeMaTiKa

* Za opuštanje igrice: Testiraj reflekse; Vežbe koncentracije - TRI IGRICE *

OS KOSTA DJUKICOŠ Kosta Đukić - UČENIČKI VEB RAD* Autor: Marija Gajević
MaTeMaTiKa za osnovnu školu

Odabrani zadaci i KOMBINATORIKA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. U pravouglom trouglu stranica koja leži naspram pravog ugla zove se hipotenuza, a stranice koje se nalaze naspram oštrih uglova su katete. Dokazati da je hipotenuza veća od obe katete pojedinačno, a manja od njihovog zbira.


2. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla.


3. Odrediti sve trouglove čiji je obim 10 cm, a merni brojevi stranica su celi brojevi.


4. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ³ b ³ c, onda je potreban i dovoljan uslov da trougao postoji b + c > a. Dokazati.


5. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina
trougla. Dokazati da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme.


6. Simetrale uglova trougla AVS seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla.


7. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je
svaki od tih delova manji od susedne stranice.


8. U jednakokrakom trouglu AVS ( AS = AV) osnovica VS je produžena preko temena S do
proizvoljne tačke D. Dokazati da je
Ð
AVS > Ð ADC .


9. Duž koja povezuje teme sa sredinom naspramne strane naziva se težišna duž trougla.
Neka je dat trougao AVS i neka je D presek simetrale ugla ASV sa stranicom AV, a E središte duži AE. Dokazati da je težišna duč SE veća od simetralne duži CD.


10. Dokazati da je svaka težišna duž trougla manja od: a) poluobima trougla ; b) poluzbira
stranica koje polaze iz istog temena sa težišnom duži.


11. Zbir svih visina trougla uvek je manji od obima tog trougla. Dokazati.


12. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od poluobima, a manji od obima trougla.


13. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, V i S. Ako je O centar kruga i Ð ASV = j , onda je Ð AOV = 2j .


14. Nad duži AV kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Neka je M proizvoljna tačka na toj kružnici k. Dokazati da je Ð AMV = 90° .


15. Hipotenuza pravouglog trougla je dva puta veća od katete tog trougla. Izračunati uglove tog trougla.


16. Nad duži AV kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Dokazati: a) ako je tačka M u krugu onda je Ð AMV > 90° ; b) ako je tačka M van kruga onda je Ð AMV < 90° .

KOMBINATORNI ZADACI

1. Može li se skakač koji se nalazi u donjem levom uglu šahovske table 8 x 8, posle 63 poteza naći u gornjem desnom uglu , a da pri tom obiđe sva polja šahovske table?

2. Na koliko načina Raško i Taško mogu da podele 1998 bombona, ako Raško mora uvek dobiti više bombona nego Taško?

3. Na koliko različitih načina Milka, Rada, Sneža i Jasna mogu sesti na tri stolice A (fotelja), B (školska stolica) i C (kuhinjska stolica), ako ni na jednoj stolici ne mogu sedeti dve osobe, a sve stolice moraju biti popunjene?

4. Koliko ima parnih trocifrenih brojeva čiji je zbir cifara neparan broj?

5. Da li je više četvorocifrenih brojeva čije su sve cifre parne ili je više onih čije su sve cifre neparne? Da li je više prirodnih brojeva čije su sve cifre parne ili onih čije su sve cifre neparne?

6. Koliko ima petocifrenih prirodnih brojeva koji se čitaju s leva u desno jednako kao i s desna u levo?

7. Koliko ima šestocifrenih brojeva kod kojih su cifre uzastopni prirodni brojevi bilo u rastućem, bilo u opadajućem poretku?

8. Ako se list hartije zarotira za 180o, onda se cifre 0, 1, 8 ne menjaju, a cifre 6 i 9 prelaze jedna u drugu, dok ostale cifre gube smisao. Koliko ima sedmocifrenih brojeva , koji ne menjaju svoju dekadnu vrednost kada se list hartije zarotira za 180o?

9. Koliko ima desetocifrenih brojeva kod kojih su sve cifre različite? Koliko ima ukupno prirodnih brojeva kod kojih su sve cifre različite?

10. Napisani su svi prirodni brojevi od 1 do 1 000 000. Koliko je cifara za njihovo ispisivanje
upotrebljeno? Koliki je zbir cifara svih tih brojeva?

11. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 1 000 000 čije su sve cifre jednake?

12. Da li je više prirodnih brojeva koji imaju zbir cifara jednak 2 ili je više onih čiji je proizvod cifara jednak 2?

13. Vaterpolo utakmica je završena rezultatom 7:4. Na koliko različitih načina je mogao teći tok utakmice?

14. Koliko ima nula u zapisu brojeva 1, 2, 3,……. . ., 999 999 999, 1 000 000 000 ?

15. Da li je među brojevima 1, 2, 3,. . ., 9 999 999, 10 000 000 više onih u čijem
zapisu ima bar jedna jedinica ili je više onih u čijem zapisu nema ni jedne jedinice?

16. Napisati najmanji desetocifreni broj u kome prva cifra predstavlja broj jedinica u tom broju, druga broj dvojki, treća broj trojki,. .., deveta broj devetki, a deseta broj nula.

17. Koliko ima sedmocifrenih prirodnih brojeva sa različitim ciframa u kojima su cifre 5 i 6 susedne?

18. Koliko ima osmocifrenih brojeva sa različitim ciframa u kojima je cifra 1 zapisana pre cifre 2 ( može ali ne mora neposredno iza cifre 1 ) ?

19. U koliko devetocifrenih prirodnih brojeva sa različitim ciframa se između cifara 7 i 8 nalaze tačno 3 druge cifre?

20. Koliko ima trojki (a, b, c) prirodnih brojeva za koje važi abc = 1000 ; (a £ b £ c) ?