MATEMATIKA * MISLI O MATEMATICI

MaTeMaTiKa * Rekli su ...

Priroda je ogromna knjiga u kojoj je napisana nauka. Ona je stalno otvorena pred našim očima, ali je čovek ne može razumeti ukoliko prethodno ne nauči jezik i slova kojim je napisana. A napisana je ona jezikom matematike.

Galio Galilej

Matematika je ključ za celokupno ljudsko znanje

Leonard Ojler

Matematika – to je jezik kojim govore sve prirodne nauke .
Ne postoji nijedna matematička oblast, ma kako ona apstraktna bila, koja se ne bi mogla primeniti na pojave realnog sveta.

Nikolaj Lobačevski

Nadahnuće je potrebno u poeziji kao i u geometriji.

Aleksandar Puškin

Najbolji način da se nešto nauči jeste – da se samostalno otkrije

D. Polja

Suština matematike je – u njenoj večitoj mladosti

E. Bel

Pravi matematičar može i usred nepovoljnih prilika naći mogućnost za stvaralački rad

L. Mardel

Pri obučavanju dece neophodno je težiti k tome da se kod njih postepeno sjedinjuje znanje sa umenjem. Izgleda da je od svih nauka jedino matematika sposobna da u potpunosti zadovolji ovaj zahtev.

I. Kant

Mi nikada ne postajemo matematičari, čak i ako naučimo napamet sve tuđe dokaze, ako naš um nije osposobljen da samostalno rešava postavljene probleme

R. Dekart

Iz matematike će mnogo štošta ne zadrži u pameti, no ako si je jednom savladao, onda ćeš se po potrebi uvek lako prisetiti zaboravljenog.

B. Ostrogradski

Matematika je – nauka mladih. Drugačije ne može ni biti. Bavljenje matematikom predstavlja takvu gimnastiku uma, da je za nju potrebna sva gipkost i izdržljivost mladosti.

N. Viner

Među ljudima jednakih umnih sposobnosti, koji rade pod istim uslovima, u prednosti su oni koji znaju geometriju.

B. Paskal

“ Brojevi upravljaju svetom “ – govorili su pitagorejci. To je, razume se, mistika. Ali brojevi pružaju čoveku mogućnost da upravlja svetom i u to nas ubeđuje celi tok i razvitak nauke i tehnike našeg doba.

A. Dorodnicin

Prava matematika je uvek bila lepa, a prava je umetnost uvek bila i istinita.

V. Devide

Uči se rešavanjem problema, a ne čitanjem udžbenika.

E. Kim Neubets

Layman A Allen profesor prava na Mičigenskom univerzitetu, bacio je kocku kada je shvatio da njegovi studenti slabo stoje sa logikom. Razmišljao je ovako: u osnovi prava je logika. Dakle, ko nije u stanju logično misliti, ne može se baviti pravom. U osnovi logike je pak matematika, a matematika je za mnoge bauk. Odatle treba početi!

( Večernji list)

MATEMATIKA * MISLI O MATEMATICI - Rekli su ...

ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

MaTeMaTiKa

Matematika za talentovane učenike i učenike osnovne škole koji vole matematiku

ZANIMLJIVA MATEMATIKA

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=123456789 87654321

12345679 x 9 =111111111
12345679 x 18=222222222
12345679 x 27=333333333
12345679 x 36=444444444
12345679 x 45=555555555
12345679 x 54=666666666
12345679 x 63=777777777
12345679 x 72=888888888
12345679 x 81=999999999

ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

LOGIČKO-KOMBINATORNI ZADACI

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. U čaši , balonu i kanti nalaze se : limunada, mleko i voda (u svakom sudu po jedna tečnost ). U kanti nije limunada, a ni mleko. U čaši nije limunada. Koja se tečnost nalazi u kom sudu?

2. Koje su ocene dobili Anka, Branka i Danka ako Anka nema '3', Danka nema '3' i nema '5' , a u odeljenju nema dvojki i jedinica iz matematike.

3. Od tri olovke , jedna je crvena, jedna bela i jedna plava. Označiti olovke sa A, B i C. Koje boje imaju olovke ako je tačno samo jedno od tri tvrđenja. "A je crvena" , "B nije crvena" , "C nije plava".

4. Boris , Dušan , Milica i Višnja su kapiteni sportskih ekipa u svojoj školi. Postavljeno im je pitanje u kojim sportovima se takmiče i oni su dali sledeće izjave : Boris : "Višnjina ekipa igra rukomet , a Milicina košarku". Dušan: "Višnja igra odbojku, a Boris košarku". Milica
: "Dušan je kapiten odbojkaša , a Boris rukometaša ". Višnja : "Boris predvodi odbojkaše, a Milica šahiste". Ispostavilo se da se kapiteni nedovoljno poznaju. Naime svaki je
istinu rekao samo za jednog sportistu. Odgovoriti kojim ekipama su kapiteni Boris, Dušan, Milica i Višnja.

5. U jednoj vazi je pet karanfila , a u drugoj tri ruže. Na koliko načina se može izabrati jedan karanfil ili jedna ruža? Na koliko načina se može napraviti buket od jednog karanfila i jedne ruže?

6. Od mesta A do mesta B vode tri puta , a od mesta B do mesta C dva puta. Na koliko se načina može stići iz A u C preko B?

7. Na koliko se načina mogu razmestiti 5 učenika na 5 pričvršćenih stolica?

8. Na koliko se načina mogu razmestiti 6 učenika na: a) 9 pričvršćenih stolica ; b) 4 pričvršćene stolice?

9. Koliko se četvorocifrenih brojeve može sastaviti od cifara: a) {1,2,3,4,5,6} ; b) {0,1,2,3,4,5} ako se cifre: a) ne ponavljaju ; b) ponavljaju .

10. Od cifara 0,1,3,5,7,9 napisani su petocifreni brojevi sa pet različiti cifara. Koliko je među njima onih koji nisu deljivi sa 10 ?

11. Koliko dijagonala ima dvanaestougao?

12. Nekoliko drugova, prilikom susreta, su se rukovali jedan sa drugim. Koliko je bilo drugova
ako je bilo 10 rukovanja?

13. U ravni je dato 8 tačaka od kojih su 4 na jednoj pravoj , a od preostalih 4 nikoje
3 nisu na jednoj pravoj. Koliko pravih određuje ovih 8 tačaka?

14. Registracija automobila sadrži jedno slovo azbuke i jedan trocifreni broj (koji ne počinje nulom). Koliko se automobila može na taj način registrovati ?

15. Aca , Miša i Rajko čitaju: "Politiku" , "Novosti" i "Sport" i to svako čita samo jedne novine. Na pitanje, ko od njih čita koje novine njihova drugarica Vera je odgovorila: " Aca je čitao "Politiku", Miša nije čitao "Novosti", a Rajko nije čitao "Politiku". Odgovor je bio tačan samo za jednog čitaoca. Koje novine čitaju Aca, Miša i Rajko?

16. Koliko ima trocifrenih brojeva sa različitim ciframa, ako su sve cifre različite od nule?

17. Na jednoj proslavi svih 20 učesnika rukovali su se međusobno. Koliko je ukupno bilo rukovanja?

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

1. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su jednako udaljene od datih tačaka A i B.

2. Dat je ugao xOy. Konstruisati sve tačke u ravni koje su jednako udaljene od krakova datog ugla.

3. Kroz datu tačku M konstruisati pravu n koja je normalna na datoj pravoj p.

4. Data je tačka O. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od tačke O udaljene 2 cm.

5. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su 3 cm udaljene od date prave p.

6. Data je duž AB = 5 cm. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od date duži udaljene
manje od 2 cm.

7. Data je prava p i tačke A i B van nje. Na pravoj p konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

8. Data je kružnica k i tačke A i B van nje. Na kružnici k konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

9. Dat je trougao PQR i tačke A i B van njega. Na stranicama trougla PQR Konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B.

10. U ravni su dati prava p i tačka M. Korišćenjem samo šestara konstruisati tačku N koja je simetrična sa M u odnosu na p.

11. Dat je kvadrat ABCD i tačka M. Koristeći samo lenjir (tj konstruišući samo prave) konstruisati tačku N koja je simetrična sa M u odnosu na pravu AC.

12. Prave p i q seku se van ravni crteža u tački O. Konstruisati simetralu ugla pOq.

13. Data je kružnica k i van nje tačke A i B. Koristeći samo šestar (tj. konstruišući samo krugove) konstruisati presek kružnice sa pravom AB.

14. Date su tačke P i Q i prava s. Konstruisati ugao POQ, ako se zna da je data prava s njegova simetrala.

15. Data je prava p i sa iste strane prave p date su tačke A i B. Na pravoj p Konstruisati tačku M tako da je zbir rastojanja AM + BM najmanji moguć.

16. Na pravougaonom bilijarskom stolu ABCD nalaze se dve loptice M i N. Kako treba udariti lopticu M da bi posle jednog (dva, ili tri) odbijanja udarila lopticu N.

17. Dati su trougao ABC i duž MN. Konstruisati duž PQ koja je jednaka i paralelna sa MN,
tako da tačke P i Q pripadaju stranicama trogla ABC.

18. Dat je ugao xOy i tačke A i B u njemu. Konstruisati tačku M na kraku Ox i tačku N na kraku Oy tako da je duž MN jednaka i paralelna sa AB.

19. Jednakokraki trouglovi ABC i MNP konstruisani su tako da osnovice BC i NP leže na istoj
pravoj p. Konstruisati pravu q paralelnu sa p tako da odsečci prave q unutar datih trouglova budu jednaki.

20. Data je duž AB i tačka C van nje. Konstruisati kružnicu k koja sadrži kroz tačke A, B i C.

APSOLUTNA VREDNOST

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Izračunati vrednost izraza A = la+3l + la-3l + la-1l, ako je a = - 10 .

2. Ako je x = -6 izračunaj vrednost izraza (2 lxl + x):3 + lxl + x .

3. Za x = -1 i y = -5 izračunaj vrednost izraza: lx-yl + 2 lyl - (x+y) .

4. Izračunati sumu: l1-2l + l3-4l + l5-6l + ... + l1998-1999l + l1999-2000l.

5. Odrediti odstojanje tačaka A(3), B(-7), C(-2), D(0) od tačke: a) R(0) ; b) Q(-5); c) R(5) .

6. Rešiti jednačine: lxl = 9 ; lxl = 0 ; lxl = - 3 .

7. Rešiti jednačine: lxl - l-5l = -2 ; lx:2l = 1 + l-3l .

8. Odrediti sve tačke koje su od tačke A(3), B(-5) i C(0) udaljene za 2.

9. Rešiti jednačine: lx-3l = 2 ; lx-1l + 4 = l-3l ; 2lx+2l - 3 = 7 .

10. Rešiti jednačine: 14 - lx+3l = 9 ; lxl + 3 = 5 ; lxl - 12 = 9 .

11. Rešiti nejednačine: lxl <> 2 ; lxl >= -4 ; lxl < -1 .

12. Rešiti nejednačine: lx-2l < 3 i lx-2l > 3. Napraviti razliku skupova njihovih rešenja.

13. Rešiti nejednačinu 3lx+2l + 23 =< 47.

14. lzračunati zbir rešenja jednačine: a) lxl = a ; b) lx-3l = a .

15. Data je nejednačina lxl < class="GramE">rešenja ; b) proizvod svih njenih rešenja ?

16. Šta je veće: a) la+bl ili lal + lbl ; b) llal - lbll ili la+bl ?

17. Rešiti jednačine:
a) lx-1l = lx+5l ;
b) lx+1389l - lx+1999l = 12;
c) lx-1l + lx-3l = l4x-2l;
d) lxl + lx-6l = l6-2xl

SABIRANJE I ODUZIMANJE CELIH BROJEVA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Napisati deset uzastopnih celih brojeva tako da su:
a) samo četiri broja pozitivna;
b) samo tri broja negativna .

2. Izračunati:
a) (-1996) + (-1995) + ... + 1996 + 1997 + 1998;
b) (-1994) × (-1993) × ... × 1995 × 1996 × 1997 × 1998 ;

3. Koliko je:
a) (-25) + (-24) + ... + 63 + 64 ;
b) (-85) + (-84) + ... + 37 + 38 ?

4. Izračunati:
a) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... + 1995 - 1996 + 1997 – 1998;
b)1 - 3 + 5 - 7 + ... + 1993 - 1995 + 1997 - 1999.

5. Rešiti sledeće jednačine:
a) (-10) + (-9) + ... + (x-1) + x = -40 (x Î Z);
b) h + (h+1) + ... + 17 + 18 = 51 (x Î Z).

6. Zbir 111 uzastopnih celih brojeva jednak je 0. O kojim brojevima je reč ?

7. Odrediti 1999 uzastopnih celih brojeva tako da je njihov zbir jednak 1999.

8. Zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva je 25. O kojim brojevima je reč?

9. Odrediti sve uzastopne cele brojeve tako da je njihov zbir -35.

10. Ako je x + y = 0, onda je x - y = 0. Dokazati.

11. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je x + y = 0 i 2x + 3y = 25.

12. Odrediti sve cele brojeve x, y i z tako da je: x + y + z = 0, x - y + z = 2 i x + z = y.

13. Odrediti sve cele brojeve x, y i z tako da je: x + y - z = 3, x + y + z = 1 i x + y + z = 3.

14. Koliko rešenja ima jednačina x + y = 10, ako su x,y Î Z.

15. Da li je moguće u polja kvadrata 3 x 3 rasporediti brojeve -1, 0 i 1 tako da je zbir u svakoj koloni, vrsti i dijagonali različit?

16. Na koliko načina se broj 1998 može prikazati kao zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva?

UGLOVI TROUGLA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Ako je zbir dva spoljašnja ugla trougla 270^o, onda je taj trougao pravougli. Dokazati.

2. Spoljašnji ugao jednakokrakog trougla je 100^o. Izračunati unutrašnje uglove trougla.

3. Ako se spoljašnji ugao kod temena A poveća za 35^o, a spoljašnji ugao kod temena B smanji za 20^o, tada se unutrašnji ugao kod temena C smanji za svoju četvrtinu. Izračunati unutrašnji ugao kod temena C.

4. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla i simetrala spoljašnjeg ugla trougla iz istog temena seku se pod pravim uglom. Dokazati.

5. U trouglu ABC simetrala Ð ACB obrazuje sa stranicom AB ugao od 128^o. Izračunati oštar ugao između prave AB i simetrale spoljašnjeg ugla kod temena C.

6. Simetrale oštrih uglova pravouglog trougla seku se pod uglom od 135^o. Dokazati.

7. U trouglu ABC simetrala spoljašnjeg ugla C i simetrala spoljašnjeg ugla B, seku se u tački M. Izračunati Ð BMC, ako je Ð BAC = 50^o.

8. Izračunati ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, ako se visine koje odgovaraju kracima trougla seku pod uglom od 48^o .

9. U trouglu ABC, duž BK je simetrala Ð ABC (K Î AC). Ako je Ð BKC = 70o kolika je razlika ÐACB - ÐCAB ?

10. Hipotenuza AB pravouglog trougla ABC produžena je preko temena A do tačke M tako da je AC = AM i preko temena B do tačke R tako da je BR = BC. Izračunati ugao MCR .

11. Jedan unutrašnji ugao trougla je 75^o. Izračunati ostale uglove trougla, ako se zna da prava koja sadrži teme datog ugla deli dati trougao na dva jednakokraka trougla.

12. Izračunati uglove jednakokrakog trougla ako se zna da simetrala ugla na osnovici seče
simetralu ugla pri vrhu pod uglom od 130^o .

13. Hipotenuzina visina i simetrala pravog ugla seku se pod uglom od 12^o. Izračunati uglove tog trougla .

14. Spoljašnji uglovi trougla su 2x, 20x i 13x. Izračunati unutrašnje i spoljašnje uglove trougla .

15. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, B i C. Ako je O centar kruga i Ð ACB = j , onda je Ð AOB = 2j. Dokazati.

16. Nad duži AB kao prečnikom konstruisana je kružnica. Neka je M proizvoljna tačka na toj
kružnici. Dokazati da je Ð AMB = 90° .

17. Nad duži AB kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Dokazati: a) ako je tačka M u krugu onda je Ð AMB > 90° ; b) ako je tačka M van kruga onda je ÐAMB <>° .

18. Nad stranicom CD kvadrata ABCD konstruisan je jednakostranični trougao CDE. Izračunati uglove trougla ABE

DIRIHLEOV PRINCIP

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Dato je 1999 prirodnih brojeva. Dokazati da je bar 1000 datih brojeva iste parnosti.

2. Među 100 proizvoljnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati.

3. Dato je 999 proizvoljnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom. Da li tvrđenje važi za 998 prostih brojeva ?

4. Dokazati da se od proizvoljnih 6 celih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika deljiva sa 5.

5. Stranice i visine trougla AVS na proizvoljan način obojene su plavom ili crvenom bojom. Dokazati da se na tako dobijenoj slici uvek može uočiti trougao čije su sve stranice iste boje.

6. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoje dve tačke iste boje (plave ili bele) čije je rastojanje 1 sm .

7. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoji pravougli trougao čija je hipotenuza 1998 cm i čija su sva temena iste boje.

8. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji duž čije središte je iste boje kao i njeni krajevi.

9. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji jednakostranični trougao čija su sva tri temena iste boje.

10. Svaka od stranica i dijagonala konveksnog šestougla na proizvoljan način je obojena plavom ili crvenom bojom. Dokazati da postoji trougao čija su temena temena šestougla i čije su sve stranice iste boje.

11. Nespretni učenik je mastilom zabrljao pravougaoni list hartije dimenzija 21 cm h 30 cm, tako da je ukupna površina svih nastalih mrlja 314 cm2. Dokazati da na tom listu hartije postoje dve tačke, simetrične prema jednoj od simetrala pravougaonika, koje se nalaze u neizbrljanom delu papira.

12. Nekoliko lukova date kružne linije obojeno je plavom bojom tako da je zbir dužina svih obojenih lukova manji od polovine obima kružne linije. Dokazati da postoji prečnik kruga čije su obe krajnje tačke iste boje.

13. U kutiji se nalazi 10 belih i 7 crvenih kuglice. Koliko najmanje kuglica treba uzeti iz kutije (bez gledanja), da bi među njima sigurno bile 3 crvene kuglice ?

14. U vreći se nalazi 70 loptica raznih boja: po 20 crvenih, plavih i žutih, dok su ostale crne. Koliko najmanje loptica treba uzeti slučajnim izvlačenjem iz kutije da bi među njima bilo ne manje od 10 loptica iste boje?

15. Prema najnovijem popisu stanovništva u 5990 mesnih zajednica na teritoriji šireg područja grada Beograda živi 1883764 stanovnika. Dokazati da postoje bar dve mesne zajednice sa istim brojem stanovnika.

16. Na prvenstvu škole u košarci svaka sa svakom igra 10 ekipa. Dokazati da u svakom trenutku takmičenja postoje dve ekipe sa istim brojem odigranih utakmica.

ODABRANI ZADACI SA RACIONALNIM BROJEVIMA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Šta je veće: - 1997/1998 ili - 1998/1999.

2. Odrediti sve razlomke sa jednocifrenim imeniocem od kojih je svaki veći od - 8/9 a manji od - 7/9.

3. Koliko je racionalnih brojeva sa imeniocem 5 većih od -1 a manjih od 1?

4. Šta je veće x ili 1/x ako je x ¹ 0 i x e Z?

5. Mile je otpio 1/6 šolje crne kafe i dolio mleko, zatim je otpio 1/3 šolje i dolio mleko, zatim je otpio 1/2 šolje i dolio mleko. Na kraju je popio celu šolju tečnosti. Cega je popio više:
kafe ili mleka ?

6. Razlika dva broja je 13,86. Ako se većem broju pomeri zarez: a) u desno; b) u levo za jedno mesto dobija se manji broj. Koji su to brojevi ?

7. Šta je veće: - 299/999 ili - 2999/9999 ?

8. Koliko ima razlomaka sa jednocifrenim imeniocem koji su veći od -1/2, a manji od 1/3 ?

9. Odredititi dva racionalna broja čiji je zbir -1/5, a količnik 1/5 ?

10. Racionalan broj - 4/7 je nastao skraćivanjem racionalnog broja čiji brojilac i imenilac imaju zbir 885. Odrediti prvobitni razlomak.

11. Kazaljke na časovniku pokazuju 9 sati. Posle koliko vremena će se one prvi put poklopiti ?

PROSTI BROJEVI. DELJIVOST

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Dokazati :
a) broj 2 je jedini paran prost broj
b) skup svih celih brojeva je beskonačan
c) svi prosti brojevi veći od dva su neparni.

2. Skup prostih brojeva je beskonačan. Dokazati.

3. Svi prosti brojevi veći od 2 su oblika 4k - 1 ili 4k + 1. Svi prosti brojevi veći od 3 imaju oblik 6k - 1 ili 6k + 1. Obrnuto ne važi. Dokazati.

4. Odrediti sve proste brojeve r takve da je
a) p + 5 prost broj v) 3^p + p³ prost broj
b) p² + 9 prost broj g) p + 2 i p + 4 prosti brojevi.

5. Ako je p prost broj onda je :
a) p + 7 složen broj
b) p¹⁹⁹⁵ + p¹⁹⁹⁶ složen broj
v) p¹⁹⁸⁷ + p¹⁹⁸⁸ + 1988 složen broj. Dokazati.

6. Ako su p i 8p - 1 prosti brojevi onda je 8p + 1 složen broj. Dokazati.

7. Dokazati da postoji 11 uzastopnih složenih brojeva.

8. Zbir dva prirodna broja je 288 , NZD je 36. Koji su ti brojevi?

9. Postoji li prirodan broj čiji je proizvod cifara 650. Postoji li prirodan broj čiji je zbir cifara 650 ?

10. Odredi najmanji prirodan broj k kojim treba pomnožiti broj 300 da se dobije kub prirodnog broja.

11. Dokazati da je broj: a) 1987¹⁹⁸⁶ + 1 ; b) 1995¹⁹⁹⁶ - 345 deljiv sa 10.

12. Mirko je kupio nekoliko olovki po 27 konvertibilnih dinara i nekoliko sveski po 72 konvertibilna dinara. Prodavac mu je za to naplatio 1234 konvertibilna dinara. Kako je Mirko znao da je prodavac pogrešio?

13. Proizvod 2 dvocifrena prirodna broja zapisan je samo pomoću četvorki. O kojim brojevima je reč ?

14. Odrediti najmanji prirodan broj koji pri deljenju sa 2 daje ostatak 1, pri deljenju sa
3 daje ostatak 2, a pri deljenju sa 8 daje ostatak 7.

15. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve čiji je zbir cifara 10, a deljivi su sa 11

ODNOS STRANICA I UGLOVI TROUGLA

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. U pravouglom trouglu stranica koja leži naspram pravog ugla zove se hipotenuza, a stranice koje se nalaze naspram oštrih uglova su katete. Dokazati da je hipotenuza veća od obe katete pojedinačno, a manja od njihovog zbira.

2. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla.

3. Odrediti sve trouglove čiji je obim 10 cm, a merni brojevi stranica su celi brojevi.

4. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ³ b ³ c, onda je potreban i dovoljan uslov da trougao postoji b + c > a. Dokazati.

5. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina
trougla. Dokazati da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme.

6. Simetrale uglova trougla AVS seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla.

7. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je
svaki od tih delova manji od susedne stranice.

8. U jednakokrakom trouglu AVS ( AS = AV) osnovica VS je produžena preko temena S do
proizvoljne tačke D. Dokazati da je Ð AVS > Ð ADC .

9. Duž koja povezuje teme sa sredinom naspramne strane naziva se težišna duž trougla.
Neka je dat trougao AVS i neka je D presek simetrale ugla ASV sa stranicom AV, a E središte duži AE. Dokazati da je težišna duč SE veća od simetralne duži CD.

10. Dokazati da je svaka težišna duž trougla manja od: a) poluobima trougla ; b) poluzbira
stranica koje polaze iz istog temena sa težišnom duži.

11. Zbir svih visina trougla uvek je manji od obima tog trougla. Dokazati.

12. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od poluobima, a manji od obima trougla.

13. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da važe nejednakosti: Ð AMV > Ð ASV

14. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da je zbir duži AM + VM + SM veći od poluobima, a manji od obima trougla AVS.

15. Na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena C trougla AVS izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MV > AS + VS.

16. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, V i S. Ako je O centar kruga i Ð ASV = j , onda je Ð AOV = 2j .

17. Nad duži AV kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Neka je M proizvoljna tačka na toj kružnici k. Dokazati da je Ð AMV = 90° .

18. Hipotenuza pravouglog trougla je dva puta veća od katete tog trougla. Izračunati uglove tog trougla.

GEOMETRIJSKI DOKAZ – PODUDARNOST

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. Ako se dve značajne tačke trougla poklapaju onda je trougao jednakostraničan. Dokazati

2. Dato je pet kolinearnih tačaka i još jedna tačka van te prave. Koliko kružnica određuju te tačke?

3. Dokazati da je centar upisanog kruga u trougao najbliži temenu najvećeg ugla trougla.

4. Dokazati da je težišna duž trougla:
a) manja od poluobima trougla ; b) manja od poluzbira susednih stranica.

5. Dve visine trougla nisu manje od odgovarajućih stranica. Izračunati uglove ovog trougla .

6. U ravni su date tačke A,B,C i D takve da je AB normalna na CD i AC normalna na BD.
Dokazati da je AD normalno na BC.

7. U pravouglom trouglu ABC, CD je visina ( ugao ACB je prav). Tačka M je središte duži CD
a tačka N središte duži BD. Dokazati da je prava AM normalna na CN .

8. Prave a i b seku se u tački Q koja je 'nedostižna' tačka. Ako je data tačka P odrediti pravu PQ .

9. Izračunati uglove trougla ABC, ako se zna da visina i težisna linija iz temena C dele Ð ACB na tri jednaka dela.

10. Ugao b jednakokrakog trougla ABC (AC = BC) je 72^o. Na produžetku kraka AC izabrana je tačka D tako da je AD = AB. Dokazati da je i trougao CBD jednakokrak.

11. Iz temena C trougla ABC konstruisane su normale na simetrale spoljašnjih uglova kod temena A i B. Normale presecaju pravu AB u tačkama M i N. Dokazati da je duž MN jednaka obimu datog trougla.