ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

MaTeMaTiKa

Matematika za talentovane učenike i učenike osnovne škole koji vole matematiku

ZANIMLJIVA MATEMATIKA

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=123456789 87654321

12345679 x 9 =111111111
12345679 x 18=222222222
12345679 x 27=333333333
12345679 x 36=444444444
12345679 x 45=555555555
12345679 x 54=666666666
12345679 x 63=777777777
12345679 x 72=888888888
12345679 x 81=999999999

ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

LOGIČKO-KOMBINATORNI ZADACI

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE

1. U čaši , balonu i kanti nalaze se : limunada, mleko i voda (u svakom sudu po jedna tečnost ). U kanti nije limunada, a ni mleko. U čaši nije limunada. Koja se tečnost nalazi u kom sudu?

2. Koje su ocene dobili Anka, Branka i Danka ako Anka nema '3', Danka nema '3' i nema '5' , a u odeljenju nema dvojki i jedinica iz matematike.

3. Od tri olovke , jedna je crvena, jedna bela i jedna plava. Označiti olovke sa A, B i C. Koje boje imaju olovke ako je tačno samo jedno od tri tvrđenja. "A je crvena" , "B nije crvena" , "C nije plava".

4. Boris , Dušan , Milica i Višnja su kapiteni sportskih ekipa u svojoj školi. Postavljeno im je pitanje u kojim sportovima se takmiče i oni su dali sledeće izjave : Boris : "Višnjina ekipa igra rukomet , a Milicina košarku". Dušan: "Višnja igra odbojku, a Boris košarku". Milica
: "Dušan je kapiten odbojkaša , a Boris rukometaša ". Višnja : "Boris predvodi odbojkaše, a Milica šahiste". Ispostavilo se da se kapiteni nedovoljno poznaju. Naime svaki je
istinu rekao samo za jednog sportistu. Odgovoriti kojim ekipama su kapiteni Boris, Dušan, Milica i Višnja.

5. U jednoj vazi je pet karanfila , a u drugoj tri ruže. Na koliko načina se može izabrati jedan karanfil ili jedna ruža? Na koliko načina se može napraviti buket od jednog karanfila i jedne ruže?

6. Od mesta A do mesta B vode tri puta , a od mesta B do mesta C dva puta. Na koliko se načina može stići iz A u C preko B?

7. Na koliko se načina mogu razmestiti 5 učenika na 5 pričvršćenih stolica?

8. Na koliko se načina mogu razmestiti 6 učenika na: a) 9 pričvršćenih stolica ; b) 4 pričvršćene stolice?

9. Koliko se četvorocifrenih brojeve može sastaviti od cifara: a) {1,2,3,4,5,6} ; b) {0,1,2,3,4,5} ako se cifre: a) ne ponavljaju ; b) ponavljaju .

10. Od cifara 0,1,3,5,7,9 napisani su petocifreni brojevi sa pet različiti cifara. Koliko je među njima onih koji nisu deljivi sa 10 ?

11. Koliko dijagonala ima dvanaestougao?

12. Nekoliko drugova, prilikom susreta, su se rukovali jedan sa drugim. Koliko je bilo drugova
ako je bilo 10 rukovanja?

13. U ravni je dato 8 tačaka od kojih su 4 na jednoj pravoj , a od preostalih 4 nikoje
3 nisu na jednoj pravoj. Koliko pravih određuje ovih 8 tačaka?

14. Registracija automobila sadrži jedno slovo azbuke i jedan trocifreni broj (koji ne počinje nulom). Koliko se automobila može na taj način registrovati ?

15. Aca , Miša i Rajko čitaju: "Politiku" , "Novosti" i "Sport" i to svako čita samo jedne novine. Na pitanje, ko od njih čita koje novine njihova drugarica Vera je odgovorila: " Aca je čitao "Politiku", Miša nije čitao "Novosti", a Rajko nije čitao "Politiku". Odgovor je bio tačan samo za jednog čitaoca. Koje novine čitaju Aca, Miša i Rajko?

16. Koliko ima trocifrenih brojeva sa različitim ciframa, ako su sve cifre različite od nule?

17. Na jednoj proslavi svih 20 učesnika rukovali su se međusobno. Koliko je ukupno bilo rukovanja?

Kombinatorika

Kombinatorika

1. Iz mesta A u mesto B vodi 3 puta, iz mesta B u mesto C 4 puta, a iz mesta S u mesto D 5 puteva. Na koliko se načina može doći:
a) iz mesta A u mesto C idući preko mesta B ?
b) iz mesta A u mesto D idući preko mesta B i C ?

2.Koliko ima trocifrenih brojeva čija je prva cifra: a) neparna b) parna. Koliko je među tim brojevima onih sa različitim ciframa?

3.Koliko se od slova a, b, c može formirati reči dužine 1, 2, 3 ako se slova u jednoj reči: a) mogu ponavljati b) ne mogu ponavljati. Uopštiti za slučaj n slova od kojih se formiraju reči dužine k.

4. Koliko se različitih prirodnih brojeva može napisati pomoću cifara 0, 1 i 2 ako se svaka cifra može ponoviti najviše dava puta ?

5. Koliko petocifrenih brojeva sa različitim ciframa se može formirati ako su prve dve cifre parne, a poslednje tri neparne?

6. Koliko kolona na tiketu sportske prognoze se mora popuniti da bi se obuhvatile sve kombinacije, ako predviđamo tri fiksna znaka, dva dvoznaka i ostale troznake?

7. Po rasporedu, danas su predviđeni sledeći časovi: matematika, istorija biologija, fizika i hemija. Na koliko se različitih načina može napraviti raspored?

8. Koliko dijagonala ima dvadesetougao ?

9. Koliko šestocifrenih brojeva napisanih ciframa 1, 2, 3, 4, 5, 6 (bez ponavljanja) počinje sa tri parne cifre?

10. Na polici se nalaze tri crvene, četiri žute i pet plavih knjiga. Na koliko načina se knjige mogu razmestiti tako da sve knjige iste boje stoje jedna do druge?

11. U ravni je dato pet tačaka. Koliko date tačke određuju različitih: a) duži, b) trouglova. Uopštiti rezultat za n tačaka i mnogougao od k temena.

12. Koliko različitih delilaca ima broj 210?

13. Na startu trke je 8 trkača. Na koliko se načina mogu: a) podeliti tri medalje b) odabrati trojica za finalnu trku?

14.Trideset učenika jednog odeljenja treba da izabere odeljensku zajednicu, i to: predsednika, blagajnika, sekretara i dva člana. Koliko ima različitih izbora?

15. U vrsti su 4 dečaka i 4 devojčice, ali tako da se između svaka dva dečaka nalazi devojčica. Koliko različitih rasporeda ima?

16. Koliko ima četvorocifrenih brojeva formiranih od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5 kod kojih su cifre 1 i 2 jedna do druge?

17. Na jednom skupu svi prisutni su se međusobno rukovali. Koliko je bilo prisutnih ako je bilo 66 rukovanja?

18. U kutiji se nalaze 4 bele i 5 crvenih kuglica. Na koliko načina se može izvući jedna bela i dve crvene kuglice ?

19. Koliko ima četvorocifrenih brojeva: a) sa različitim ciframa; b) ukupno ; formiranih od cifara 0, 1, 3, 5, 7 koji su deljivi sa 5?

20. Krokodil može imati najviše 68 zuba. Pokazati da među 1617 krokodila postoje dva sa istim rasporedom zuba.

Kvadrat racionalnog broja

Kvadrat racionalnog broja

1.Dokazati tvrđenje (-x)2 = x2 .

2. Da li su tačna tvrđenja:
a) Ako je x = y onda je x2 = y2 ;
b) Ako je x2 = y2, onda je i x = y ?

3. Dokazati da je za svako racionalno x broj x2 ³ 0 .

4. Ako je x racionalan broj. šta je veće: x ili x2 ?

5. Da li su tačna tvrđenja :
Ako je x< y onda je i x2Ako je x2 > y2 onda je i x > y ?

6. Uporedi po veličini brojeve: a2, |a2| i |a|2 (a je racionalan broj).

7. Kvadrati prirodnih brojeva završavaju se ciframa 1,4,5,6,9 i 0. Dokazati.

8. Postoje li prirodni brojevi x i y takvi da je:
a) x2 + 5y = 88888888 ;
b) 1998x2 + 5y2 = 123456789 ?

9. Dokazati formule:
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ;
(x-y)2 = x2 - 2xy + y2 ;

10. Koristeći gornje formule izračunaj: 142, 992, 10022 .

11. Ako je n paran ceo broj onda je n2 paran prirodan broj. Važi li obrnuto ?

12. Izračunaj koliko je (10n + 5)2 i formuliši odgovarajuće pravilo .

13. Koristeći izvedeno pravilo iz prethodnog zadatka izračunati: 152, 452, 1052.

14. Ako je n prirodan broj, da li su moguće jednakosti:
a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-3)+(2n-1) = 9876543;
b) (n-1)2 + n2 + (n+1)2 = 666666?

15. Dokazati formulu: (x-y)(x+y) = x2 - y2 .

16. Izračunaj na najracionalniji način : 19×21, 99×101, 34×26 .

17. Koliko je:
a) 992 - 1;
b) 342 - 16 ;
c) 1012 + 1998 ?

18. Kvadrat celog broja pri deljenju sa 4 daje ostatak 0 ili 1. Dokazati

19. Dokazati da jednačina 4x2 + 5y2 = 10z + t nema rešenja u skupu celih brojeva ako broj t pripada {2,3,7,8}.

20. Dokazati da jednačina 2222x2 + 5555y2 = 99999999 nema rešenja u skupu celih brojeva .

Stepeni

Stepeni

1. Izračunati: a) 54· 3n-6 + 15×3n-4 - 2n+1× 3n+1 : (2n× 33).

2. Izračunati: a × a2 × a3 ... × a 1995.

3. Dokazati da je 5n + 5n+1 + 5n+2 deljivo sa 155 za svaki prirodan broj n.

4. Šta je veće: a) 3303 ili 2454 ; b) 2 3000 ili 3 2000 ; c) 21988 ili 130284.

5. Odrediti prirodne brojeve m i n tako da važi jednakost: mn + mn+1 + mn+2 + mn+3 + mn+4 = 1984 .

6. Dokazati da je 71995 - 3 deljivo sa 10.

7. Odrediti najmanji prirodan broj n za koji je broj 10n - 1 deljiv sa 369.

8. Dokazati da su brojevi : 11994 + 21994 + 31994 + 41994 i 11995 + 21995 + 31995 + 41995 deljivi sa 10. Da li tvrđenje važi i za broj 11998 + 21998 + 31998 + 41998 ?

9. Ako je p prost broj tada je p1998 - 1 složen broj. Dokazati .

10. Posmatrati niz brojeva 6, 62, 6=... i napisati poslednje četiri cifre ovih brojeva: 0006, 0036, 0216, 1296, ... Dokazati da će se posle izvesnog broja stepenovanja niz od četiri poslednje cifre postati periodičan.

11. Postoji li stepen broja 3 koji se završava ciframa 0001?

12. Izračunati: x5:x7, x10:x12, x6:x= (x ¹ 0).

13. Dokazati da je x0 = 1 .

14. Izračunati: 2-3, 3-2, 10-1, x-4, y-n .

15. Šta je veće: a) (-1)1997 ili (-1997)1 ; b) (-1)(-1997) ili (-1997)(-1) .

16. Dat je zbir S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 21996 + 21997. Izračunati: a) S:2 ; b) S - S:2 ; c) S .

17. Koliko je: 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/310

18. Šta je veće: 333444 ili 444= ?

19. Dokazati da je 2424 + 24 deljivo sa 100.

20. Šta je veće: 200-300 ili 300-200 ?

Polinomi

Polinomi

1. Dokazati identitete: a) (ax+by)2 + (ay-bx)2 = (a2+b2)(x2+y2) ; b) x(y-z) + y(z-x) - z(y-x) = 0

2. Dokazati da se polinom 2x2 + 2y2 može napisati u obliku zbira kvadrata dva binoma.

3. Rastaviti na činioce: a) a2 - 4a + 3 ; b) x2 - 2x - 8 ; c) 2y2 - 5y + 2 .

4. Rastaviti na proste činioce sledeće polinome : a) x2 - 1 - xy + y ; b) a2 - b2 - c2 + 2bc ; c) 2a2 + 2ab + 1/2(b2) .

5. Rastaviti na činioce: a) x4 + 64 ; b) a4 + 4b4 c) ac(a+c) - bc(b+c) + ab(a-b) .

6. Ako je n prirodan broj dokazati da je: a) n3 + 5n deljivo sa 6 ; b) n5 - n deljivo sa 30 ;
c) n3 + 2n deljivo sa 3 ;

7. Dokazati da ni za jedan prirodan broj n izraz n2 + n + 2 nije deljiv sa 49.

8. Ako je x ceo broj onda je (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10) + 24 deljivo sa 24. Dokazati.

9. Ako je p prost broj veći od 3, tada je p2 - 1 deljivo sa 24. Dokazati.

10. Odrediti sve proste brojeve p za koje je 2p + p2 takođe prost broj.

11. Rešiti po x i y sledeće jednačine: a) x3 - 12x2 + 35x = 0 ; b) x4 + 9 = 10x2 ; c) x2 + y2 + 6x - 2y + 10 = 0

12. Dokazati identitet: (ad+bc)2 + (ac-bd)2 = (ad-bc)2 + (ac+bd)2 .

13. Rastaviti na činioce polinome: a) a2 - a - 6 ; b) (x2 + y2) - 4x2y2

14. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z).

15. Odrediti prost broj p takav da je broj 2p+1 tačan kub nekog prirodnog broja.

16. Dokazati da se dati polinomi mogu napisati u vidu zbira kvadrata:
a) x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3
b) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz .

17. Dokazati da vrednost polinoma x6 - x5 + x4 + x2 - x + 1 ne može biti negativna.

18. Dat je polinom P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10. Za koju vrednost promenljive x polinom P(x) ima najmanju vrednost ? Kolika je ta vrednost ?

19. Ako je zbir dva broja konstantan, dokazati da je njihov proizvod najveći ako su ova dva broja jednaka među sobom.

20. Ako su a, b i c celi brojevi takvi da je a2 + b2 = c2, onda je bar jedan od brojeva a i b deljiv sa 3. Dokazati.

21. Razlika dva neparna broja je deljiva sa 5. Kojom cifrom se završava razlika kubova tih brojeva ?

22. Ako je x- 2y + 3z = 0, onda polinom P(x,y,z) = 7xy + 11yz - 7xz - 2x2 - 6y2 - 3z2 + 5 ima konstantnu vrednost. Dokazati.

23. Ako je x+y+z = 0 i x2 + y2 + z2 = 1 izračunati koliko je x4 + y4 + z4 ?

24. Ako je a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b) različito od 0, onda su brojevi a, b , c međusobno različiti. Dokazati.

25. Ako su x, y, z celi brojevi i ako je x+y+z = 0, dokazati da je broj x3 + y3 +z3 deljiv sa 3.

26. Dokazati da se polinom P(x,y,z) = 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz može napisati u vidu zbira kvadrata nekoliko polinoma.

27. Ako je a3 + b3 + c3 = 3abc , tada je a+b+c = 0 ili je a = b = c . Dokazati.

28. Neka su a, b, c celi brojevi takvi da je a2 + b2 = c2. Dokazati da je abc deljivo sa 60.

Matematički rebusi

Matematički rebusi

1. Umesto svake zvezdice napisati jednu cifru tako da se oduzimanje ***** - **** = *** bude ispravno, ako se umanjenik, umanjilac i razlika čitaju s leva na desno jednako kao i s desna na levo.

2. Da li rebus *** + *** = *** ima rešenje ako se svaka od cifara 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 može upotrebiti samo jednom?

3. Da li rebus **** - *** = *** ima rešenje ako se svaka od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 može upotrebiti samo jednom?

4. U broju ********** umesto zvezdica rasporediti cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 tako da se svaka cifra upotrebi samo jednom i da dobijeni broj bude deljiv sa 99. Koliko rešenja ima ? Koji je najmanji, a koji najveći takav broj ?

5. Dešifrovati množenje: *4* × 15 = 3*9* .

6. Ako su h i u prirodni brojevi dešifrovati množenje: x × y × 45 = 22** . Koliko ima rešenja?

7. Odrediti sve prirodne brojeve h i u tako da je tačna jednakost x × y × 22 = 3*4* .

8. Koji trocifreni broj ima osobinu da se 6 puta smanji ako mu se izbriše cifra desetica?

9. Dešifrovati kvadriranje: (***)2 = *00**.

10. Cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 treba rasporediti umesto zvezdica tako da se svaka cifra upotrebi samo jednom, a da jednakost * + * = * - * = * × * = * * : * bude tačna.

11. Odrediti prirodne brojeve m i n tako da je tačna jednakost: 999 999 999 × m = 111...111 (u dekadnom zapisu je n jedinica).

Izračunavanje površine ravnih figura

Izračunavanje površine ravnih figura

1. Duž AC dužine a je svojom unutrašnjom tačkom B podeljena u odnosu 3 : 2. Nad dužima AB i BC sa raznih strana u odnosu na AC konstruisani su kvadrati ABDE i BCFG. Neka su M i N preseci dijagonala dobijenih kvadrata. Izračunati površinu četvorougla MNCD u funkciji od date duži a.

2. Dijagonale konveksnog četvorougla ABCD seku se u tački O. Dokazati da je proizvod površina trouglova AOB i COD jednak proizvodu površina trouglova BOC i DOA.

3. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA trougla ABC u odnosu: a) 1:1 ; b) 2:1 ; c) m:n. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla MNP?

4. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine P. Neka su K, L, M i N redom središta stranica AB, BC, CD i DA četvorougla. Dokazati da je KLMN paralelogram i izračunati njegovu površinu.

5. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su K, L, M i N redom proizvoljne tačke na stranicama AB, BC, CD i DA tog paralelograma. Dokazati da ako je površina četvorougla KLMN jednaka 5 cm2, onda je jedna od dijagonala četvorougla paralelna jednoj od stranica paralelograma.

6. Dat je četvorougao ABCD čija je površina P. Na stranicama AB i CD date su tačke K, L, M i N tako da je AK = KL = LB i CM = MN = ND. Izračunati površinu četvorougla KLMN. Šta bi bilo ako bi se stranice AB i CD podelile na 5, 7, ..., 2n+1 jednakih delova?

7. Stranice AB, BC i CA trougla ABC, produžene su preko temena B, C, A za svoju dužinu, tako da je AB = BA', BC = CB' i CA = AC'. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla A'B'C'?

8. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Dokazati da je četvorougao MNPQ paralelogram i izračunati njegovu površinu.

9. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine 1996 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Izračunati površinu četvorougla MNPQ.

10. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 100 cm2. Neka su M, N, P i Q redom središta stranica AB, BC, CD i DA. Presekom duži AP, BQ, CM i DN definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu. Šta se dešava ako je AM:MB = BN:NC = CP:PD = DQ:QA = m:n ? Da li se sličan problem može definisati i ako je četvorougao ABCD paralelogram?

11. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 81 cm2. Neka su K i L, M i N, P i Q, R i S tačke koje stranice AB, BC, CD i DA dele na tri jednaka dela. Presekom duži KN, LR, MQ i PS definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu.

12. Može li se dati kvadrat podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih kvadrata?

13. Da li je moguće dati jednakostranični trougao podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih manjih jednakostraničnih trouglova?

14. Neka su P, Q, R i S redom središta stranica AB, BC, CD i DA kvadrata ABCD. Duži AR, BS, CP i DQ seku se i grade novi četvorougao KLMN. Ako je AB = 10 cm, kolika je površina četvorougla KLMN?

15. Dat je proizvoljan konveksan četvorougao ABCD. Tačke K i L su redom središta stranica AB i CD. Prave AM i KD seku se u tački M, a prave BM i KC u tački L. Dokazati da je površina četvorougla KLMN jednaka zbiru površina trouglova AND i BCL.

16. Dat je trougao ABC čija je površina 1999 cm2. Stranice AB, BC i CA produžene su preko temena B, C i A ya svoju dužinu, tako da je AB = BA1, BC = CB1 i CA = AC1. Izračunati površinu dobijenog trougla A1B1C1.

17. Dat je kvadrat S dužine stranice 20. Neka je M skup čiji su elementi 4 temena kvadrata S i 1999 proizvoljnih unutrašnjih tačaka kvadrata S. Dokazati da postoji trougao sa temenima iz skupa M čija je površina manja od 0,1.

18. Može li se dati jednakokrako-pravougli trougao podeliti na a) 10 ; b) 100 ; c) 1999 manjih neobavezno podudarnih jednakokrako pravouglih trouglova?

19. Svaka stranica pravilnog šestougla ABCDEF produžena je za svoju dužinu tako da je AB = BA', BC = CB', CD = DC', DE = ED', EF = FE', FA = AF' . Ako je površina šestougla ABCDEF jednaka P, odrediti površinu šestougla A'B'C'D'E'F'.

20. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA jednakostraničnog trougla ABC u odnosu 3:4. Prave AN, BP i CM seku se i grade trougao QRS. Ako je površina trougla ABC jednaka 1998 cm2, kolika je površina trougla QRS ?

Pitagorina teorema - Konstruktivni zadaci

Pitagorina teorema - Konstruktivni zadaci

1. Konstruisati kvadrat čija površina jednaka zbiru (razlici) površina dva data kvadrata.

2. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površine tri data kvadrata.

3. Konstruisati jednakostranični trougao čija je površina jednaka razlici površina dva data jednakostranična trougla.

4. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruisati kvadrat koji ima površinu jednaku površini datog pravougaonika.

5. Konstruiši kvadrat čija je površina jednaka površini jednakostraničnog trougla stranice a.

6. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini kvadrata date stranice a.

7. Konstruisati jednakokrako-pravougli trougao čija je površina jednake zbiru površinama dva data:
a) jednakokrako- pravougla trougla ; b) kvadrata ; c) jednakostranična trougla.

8. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.

9. Nad stranicama pravilnog šestougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.

10. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane:
a) jednakostranični trouglovi ; b) pravilni šestouglovi ; c) pravougaonici čije se stranice odnose kao 2:1. Dokazati da je površina figure nad hipotenuzom jednaka zbiru površina figura nad katetama.

11. Neka se dijagonale trapeza ABCD seku u tački S. Tada je površina trougla ASD jednaka površini trougla BSC. Dokazati.

12. Dat je konveksni četvorougao ABCD. a) Konstruisati trougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla. b) Konstruisati pravougaonik čija je površina jednaka površini datog četvorougla.

13. Dat je konveksni četvorougao ABCD. Konstruisati pravilni šestougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla.

14. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površina konveksnog četvorougla ABCD
i konveksnog petougla MNPQR.

15. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini datog pravougaonika.

16. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u šestougao. Izračunati površinu tako dobijenog šestougla u funkciji od a i b ?

Pitagorina teorema

Pitagorina teorema

1. Dokazati direktnu Pitagorinu teoremu (ako je trougao sa stranicama a £ b < b2 =" c2)"> c2 ; ako je trougao tupougli, onda je a2 + b2 < c2. Važe li obrnuta tvrđenja ?

2. Dokazati obrnutu Pitagorinu teoremu: Ako su a, b i c stranice trougla i ako je a2 + b2 = c2, onda je trougao pravougli.

3. Proverite da li je trougao sa stranicama 29k, 20k i 21k pravougli.

4. Kakav je trougao (oštrougli, pravougli, tupougli) čije su stranice: a) 5, 6 i 7 cm; b) 10, 11 i 15 cm ?

5. Neka je c merni broj hipotenuze i d merni broj zbira kateta a i b pravouglog trougla. Izraziti površinu ovog trougla u funkciji od c i d.

6. U kvadratu ABCD tačka M je središte sranice AB, a N je tačka stranice AD, takve da je AN = 2× ND. Odrediti površinu i obim kvadrata ABCD ako je MN = 1 cm.

7. Stranica AB pravougaonika ABCD je 20 cm, a normalno rastojanje temena B od dijagonale AC je 12 cm. Naći obim i površinu pravougaonika.

8. Dat je pravougli trougao čije katete su 16 cm i 30 cm. Nad hipotenuzom tog trougla kao stra-nicom konstruisan je kvadrat. Izračunati odstojanje centra tog kvadrata od temena pravog ugla u pravouglom trouglu.

9. Neka je M proizvoljna tačka na hipotenuzi pravouglog trougla, a M’ i M” njene projekcije na katete trougla. Odrediti položaj tačke M za koji duž M’M” ima najmanju moguću vrednost.

10. Izračunaj površinu pravouglog trougla čija je hipotenuza 12 cm, a jedan oštar ugao je: a) 15° ; b) 22° 30’ .

11. Ako je u pravouglom trouglu jedan ugao 15° onda je hipotenuzina visina četiri puta manja od hipotenuze. Dokazati.

12. Tačka u kojoj kružnica upisana u pravougli trougao dodiruje hipotenuzu, deli hipotenuzu na dve duži čije su dužine 4 cm i 7 cm. Izračunati površinu tog pravouglog trougla.

13. Nad stranicama jednakokrako pravouglog trougla katete a sa spoljnje strane su konstruisani kvadrati. Izračunati površinu trougla koga čine centri konstruisanih kvadrata.

14. Snažna oluja polomi stablo visoko 16 m i pri tom vrh drveta padne 8 mdaleko od podnožja stabla. Na kojoj visini se polomilo stablo.

15. Posmatrač vidi objekat (duž) AB iz dve tačke C i D među kojima je rastojanje 300 m pod uglovima od 30° . Prave AD i BC su međusobno normalne. Kolika je dužina objekta AB.

16. Normale konstuisane iz temena B i D pravougaonika na dijagonalu AC, dele dijagonalu na tri jednaka dela. Ako je dužina jedne stranice pravougaonika , kolika je dužina druge stranice pravougaonika?

17. Vrt ima oblik pravougaonika sa temenima A,B,C,D. U vrtu je česma koja je od temena A udaljena 14 cm, a od temena B udaljena 4 cm i od temena C udaljena 12 cm. Koliko je česma udaljena od temena D ?

18. Oko jednakokrakog trougla , čija je osnovica 48 cm, a krak 40 cm, opisan je krug. Odrediti poluprečnik tog kruga.

19 . Unutrašnji uglovi trougla odnose se kao 2 : 3 : 7. Dužina najveće stranice trougla je 1 m. Odrediti dužine ostalih stranica trougla.

Mnogougao

Mnogougao

1. Može li zbir unutrašnjih uglova mnogougla biti: 123456789100° ?

2. Sve stranice datog n-tougla su jednake. Da li je dati n-tougao pravilan ?

3. Svi uglovi datog n-tougla su jednaki. Da li je dati n-tougao pravilan ?

4. Dokazati da je spoljašnji ugao pravilnog mnougla jednak centralnom uglu tog mnogougla

5. Dokazati da je unutrašnji ugao pravilnog n-tougla jednak (n-2)180° /n .

6. Postoji li pravilni mnogougao čiji je unutrašnji ugao jednak: a) 144° ; b) 128° ?

7. Postoji li pravilni mnogougao čiji je spoljašnji ugao jednak: a) 18° ; b) 11° ?

8. Koliko stranica ima mnogougao koji ima 66 dijagonala ?

9. Postoji li n-tougao kod koga je: Broj dijagonala jednak broju stranica ?

10. Ako se broj stranica mnogougla poveća za 27 onda se broj dijagonala poveća za 1998. Koliko dijagonala ima taj mnogougao ?

11. Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za 3 onda se broj njegovih dijagonala poveća dva puta. Koliki je spoljašnji ugao tog mnogougla ?

12. Broj dijagonala mnogougla sa m stranica veći je od broja dijagonala mnogougla sa n stranica za 1999. Odrediti m i n.

13. Koliki je zbir unutrašnjih uglova bilo koje zvezde petokrake.

14. Postoji li konveksni petougao čije su stranice 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm i 11 cm ?

15. U konveksnom četvorouglu ABCD važi jednakost: AB + BD = CD + AC. Dokazati nejednakost: AB < AC.

16. Nad stranicama kvadrata stranice a = 10 cm sa spoljnje strane su konstruisani jednakostranični trouglovi. Odrediti obim i površinu tako dobijenog mnogougla (osmougla). Odrediti obim i površinu mnogougla čija su temena slobodna temena jednakostraničnih trouglova, tj temena koja ne pripadaju kvadratu.

17. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a = 30 cm sa spoljnje strane su konstruisani kvadrati. Slobodna temena kvadrata, tj. ona temena koja ne pripadaju trouglu međusobno su spojena. Izračunati obim i površinu tako dobijenog šestougla.

18. Izračunati obim i površinu pravilnog dvanaestougla, ako je poluprečnik kruga opisanog oko mnogougla jednak 12 cm.

Polinomi i algebarski razlomci

Polinomi i algebarski razlomci

1. Ako je a ceo broj koji nije deljiv ni sa 2 ni sa 3 onda je broj 4a2 + 3a + 5 deljiv sa 6. Dokazati.

2. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z) .

3. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je: x2 + y2 - 6x - 10y + 33 = 0.

4. Ako je n prirodan broj onda je n3 + 1997n + 1998 deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1998.)

5. Dokazati da je zbir kvadrata pet uzastopnih prirodnih brojeva ne može biti kvadrat nijednog prirodnog broja. (R – 1998.)

6. Dokazati da je 1991×1993×1995×1997 + 16 potpun kvadrat nekog prirodnog broja. Ako je n prirodan broj, da li je (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+3) + 16 takođe potpun kvadrat ? (R – 1997.)

7. Ako je n prirodan broj onda je 11n3 + n deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1997.)

8. Dat je polinom P(x) = x3 + 2x2 – x – 2. Ako je p prost broj, onda je P(p) deljivo sa 24. Dokazati. Odrediti najmanji prost broj p takav da je P(p) deljivo sa 120. (R – 1996.)

9. Dat je polinom P = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx. Odrediti za koje vrednosti x, y i z dati polinom nije pozitivan.

10. Neka su x, y i z realni brojevi takvi da je: (y-z)2 + (z-x)2 + (x-y)2 = (y+z-2x)2 + (z+x-2y)2 +
(x+y-2z)2. Dokazati da je x = y = z.

11. Ako je ad = bc onda je (ab + cd)2 = (a2 + c2)(b2 + c2). Dokazati.

12. Za koje vrednosti x, y i z važi jednakost: x1988 + y6 + z4 + 146 = 2x994 + 16y3 + 18z2.

13. Odrediti vrednost izraza P(x,y) = x1989 + 1989y, ako je x2 + y3 + 2x – 6y + 10 = 0.

14. Neka je x = 444...444 (11 četvorki). Dokazati da je broj x2 – x – 2 deljiv sa 270.

15. Dokazati da je zbir kubova tri uyastopna prirodna broja deljiv sa 9.

16. Izračunati zbir 19912 – 19902 + 19892 – 19882 + ... + 32 – 22 + 12 .

17. Dat je polinom P(t) = t4 – t + 0,5. Dokazati da je za svaki realan broj t P(t) ¹ 0 i P(t) > 0 .

18. Da li postoji prirodan broj n takav da je n3 – n + 2n deljiv sa 1992 ?

19. Dat je broj M = 1991 – 9119. Dokazati da je M > 0 i da je M deljivo sa 72.

20. Neka je a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 i ac + bd = 0. Izračunati ab + cd .

Testiraj svoje reflekse; Vežbe koncentracije

ZABAVNO - Testiraj svoje reflekse; Vežbaj koncentraciju
IGRA je jednostavna - STAVI CURSOR [ miš ] na CRVENO POLJE,

KLIKNI I KRENI !!!

Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org

Igrice za decu - Testiraj svoje reflekse; Vežbaj koncentraciju

Igra pamćenja * memorija

IGRICA * igra pamćenja [ 6 X 6 polja ]
18. parova zanimljivih sličica

Igrice za decu - Testiraj svoju memoriju * Igra pamćenja

Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org

IGRICA * IKS - OKS

IKS - OKS [u društvu ili sam protiv računara]
IGRA JE JEDNOSTAVNA; IKS - OKS , KLIKNI I KRENI !!!

Igrice za decu - Popularna igrica IKS - OKS
Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org