Polinomi

Polinomi

1. Dokazati identitete: a) (ax+by)2 + (ay-bx)2 = (a2+b2)(x2+y2) ; b) x(y-z) + y(z-x) - z(y-x) = 0

2. Dokazati da se polinom 2x2 + 2y2 može napisati u obliku zbira kvadrata dva binoma.

3. Rastaviti na činioce: a) a2 - 4a + 3 ; b) x2 - 2x - 8 ; c) 2y2 - 5y + 2 .

4. Rastaviti na proste činioce sledeće polinome : a) x2 - 1 - xy + y ; b) a2 - b2 - c2 + 2bc ; c) 2a2 + 2ab + 1/2(b2) .

5. Rastaviti na činioce: a) x4 + 64 ; b) a4 + 4b4 c) ac(a+c) - bc(b+c) + ab(a-b) .

6. Ako je n prirodan broj dokazati da je: a) n3 + 5n deljivo sa 6 ; b) n5 - n deljivo sa 30 ;
c) n3 + 2n deljivo sa 3 ;

7. Dokazati da ni za jedan prirodan broj n izraz n2 + n + 2 nije deljiv sa 49.

8. Ako je x ceo broj onda je (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10) + 24 deljivo sa 24. Dokazati.

9. Ako je p prost broj veći od 3, tada je p2 - 1 deljivo sa 24. Dokazati.

10. Odrediti sve proste brojeve p za koje je 2p + p2 takođe prost broj.

11. Rešiti po x i y sledeće jednačine: a) x3 - 12x2 + 35x = 0 ; b) x4 + 9 = 10x2 ; c) x2 + y2 + 6x - 2y + 10 = 0

12. Dokazati identitet: (ad+bc)2 + (ac-bd)2 = (ad-bc)2 + (ac+bd)2 .

13. Rastaviti na činioce polinome: a) a2 - a - 6 ; b) (x2 + y2) - 4x2y2

14. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z).

15. Odrediti prost broj p takav da je broj 2p+1 tačan kub nekog prirodnog broja.

16. Dokazati da se dati polinomi mogu napisati u vidu zbira kvadrata:
a) x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3
b) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz .

17. Dokazati da vrednost polinoma x6 - x5 + x4 + x2 - x + 1 ne može biti negativna.

18. Dat je polinom P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10. Za koju vrednost promenljive x polinom P(x) ima najmanju vrednost ? Kolika je ta vrednost ?

19. Ako je zbir dva broja konstantan, dokazati da je njihov proizvod najveći ako su ova dva broja jednaka među sobom.

20. Ako su a, b i c celi brojevi takvi da je a2 + b2 = c2, onda je bar jedan od brojeva a i b deljiv sa 3. Dokazati.

21. Razlika dva neparna broja je deljiva sa 5. Kojom cifrom se završava razlika kubova tih brojeva ?

22. Ako je x- 2y + 3z = 0, onda polinom P(x,y,z) = 7xy + 11yz - 7xz - 2x2 - 6y2 - 3z2 + 5 ima konstantnu vrednost. Dokazati.

23. Ako je x+y+z = 0 i x2 + y2 + z2 = 1 izračunati koliko je x4 + y4 + z4 ?

24. Ako je a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b) različito od 0, onda su brojevi a, b , c međusobno različiti. Dokazati.

25. Ako su x, y, z celi brojevi i ako je x+y+z = 0, dokazati da je broj x3 + y3 +z3 deljiv sa 3.

26. Dokazati da se polinom P(x,y,z) = 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz može napisati u vidu zbira kvadrata nekoliko polinoma.

27. Ako je a3 + b3 + c3 = 3abc , tada je a+b+c = 0 ili je a = b = c . Dokazati.

28. Neka su a, b, c celi brojevi takvi da je a2 + b2 = c2. Dokazati da je abc deljivo sa 60.