Polinomi i algebarski razlomci

Polinomi i algebarski razlomci

1. Ako je a ceo broj koji nije deljiv ni sa 2 ni sa 3 onda je broj 4a2 + 3a + 5 deljiv sa 6. Dokazati.

2. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z) .

3. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je: x2 + y2 - 6x - 10y + 33 = 0.

4. Ako je n prirodan broj onda je n3 + 1997n + 1998 deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1998.)

5. Dokazati da je zbir kvadrata pet uzastopnih prirodnih brojeva ne može biti kvadrat nijednog prirodnog broja. (R – 1998.)

6. Dokazati da je 1991×1993×1995×1997 + 16 potpun kvadrat nekog prirodnog broja. Ako je n prirodan broj, da li je (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+3) + 16 takođe potpun kvadrat ? (R – 1997.)

7. Ako je n prirodan broj onda je 11n3 + n deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1997.)

8. Dat je polinom P(x) = x3 + 2x2 – x – 2. Ako je p prost broj, onda je P(p) deljivo sa 24. Dokazati. Odrediti najmanji prost broj p takav da je P(p) deljivo sa 120. (R – 1996.)

9. Dat je polinom P = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx. Odrediti za koje vrednosti x, y i z dati polinom nije pozitivan.

10. Neka su x, y i z realni brojevi takvi da je: (y-z)2 + (z-x)2 + (x-y)2 = (y+z-2x)2 + (z+x-2y)2 +
(x+y-2z)2. Dokazati da je x = y = z.

11. Ako je ad = bc onda je (ab + cd)2 = (a2 + c2)(b2 + c2). Dokazati.

12. Za koje vrednosti x, y i z važi jednakost: x1988 + y6 + z4 + 146 = 2x994 + 16y3 + 18z2.

13. Odrediti vrednost izraza P(x,y) = x1989 + 1989y, ako je x2 + y3 + 2x – 6y + 10 = 0.

14. Neka je x = 444...444 (11 četvorki). Dokazati da je broj x2 – x – 2 deljiv sa 270.

15. Dokazati da je zbir kubova tri uyastopna prirodna broja deljiv sa 9.

16. Izračunati zbir 19912 – 19902 + 19892 – 19882 + ... + 32 – 22 + 12 .

17. Dat je polinom P(t) = t4 – t + 0,5. Dokazati da je za svaki realan broj t P(t) ¹ 0 i P(t) > 0 .

18. Da li postoji prirodan broj n takav da je n3 – n + 2n deljiv sa 1992 ?

19. Dat je broj M = 1991 – 9119. Dokazati da je M > 0 i da je M deljivo sa 72.

20. Neka je a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 i ac + bd = 0. Izračunati ab + cd .