MaTeMaTiKa

MaTeMaTiKa * Rekli su ... Priroda je ogromna knjiga u kojoj je napisana nauka. Ona je stalno otvorena pred našim očima, ali je čovek ne može razumeti ukoliko prethodno ne nauči jezik i slova kojim je napisana. A napisana je ona jezikom matematike. Galio Galilej Matematika je ključ za celokupno ljudsko znanje Leonard Ojler Matematika – to je jezik kojim govore sve prirodne nauke . Ne postoji nijedna matematička oblast, ma kako ona apstraktna bila, koja se ne bi mogla primeniti na pojave realnog sveta. Nikolaj Lobačevski Nadahnuće je potrebno u poeziji kao i u geometriji. Aleksandar Puškin Najbolji način da se nešto nauči jeste – da se samostalno otkrije D. Polja Suština matematike je – u njenoj večitoj mladosti E. Bel Pravi matematičar može i usred nepovoljnih prilika naći mogućnost za stvaralački rad L. Mardel Pri obučavanju dece neophodno je težiti k tome da se kod njih postepeno sjedinjuje znanje sa umenjem. Izgleda da je od svih nauka jedino matematika sposobna da u potpunosti z...

MaTeMaTiKa Matematika za talentovane učenike i učenike osnovne škole koji vole matematiku ZANIMLJIVA MATEMATIKA 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 +10= 1111111111 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111=123456789 87654321 12345679 x 9 =111111111 12345679 x 18=222222222 12345679 x 27=333333333 12345679 x 36=444444444 12345679 x 45=555555555 12345679 x 54=666666666 12345679 x 63=777777777 12345679 x 72=888888888 12345679 x 81=999999999 ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. U čaši , balonu i kanti nalaze se : limunada, mleko i voda (u svakom sudu po jedna tečnost ). U kanti nije limunada, a ni mleko. U čaši nije limunada. Koja se tečnost nalazi u kom sudu? 2. Koje su ocene dobili Anka, Branka i Danka ako Anka nema '3', Danka nema '3' i nema '5' , a u odeljenju nema dvojki i jedinica iz matematike. 3. Od tri olovke , jedna je crvena, jedna bela i jedna plava. Označiti olovke sa A, B i C. Koje boje imaju olovke ako je tačno samo jedno od tri tvrđenja. "A je crvena " , "B nije crvena" , "C nije plava". 4. Boris , Dušan , Milica i Višnja su kapiteni sportskih ekipa u svojoj školi. Postavljeno im je pitanje u kojim sportovima se takmiče i oni su dali sledeće izjave : Boris : "Višnjina ekipa igra rukomet , a Milicina košarku". Dušan: "Višnja igra odbojku, a Boris košarku". Milica : "Dušan je kapiten odbojkaša , a Boris rukometaša ". Višn...

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE 1. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su jednako udaljene od datih tačaka A i B. 2. Dat je ugao xOy. Konstruisati sve tačke u ravni koje su jednako udaljene od krakova datog ugla. 3. Kroz datu tačku M konstruisati pravu n koja je normalna na datoj pravoj p. 4. Data je tačka O. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od tačke O udaljene 2 cm. 5. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su 3 cm udaljene od date prave p. 6. Data je duž AB = 5 cm. Konstruisati skup tačaka u ravni koje su od date duži udaljene manje od 2 cm. 7. Data je prava p i tačke A i B van nje. Na pravoj p konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B. 8. Data je kruž nica k i tačke A i B van nje. Na kru žnici k konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od tačaka A i B. 9. Dat je trougao PQR i tačke A i B van njega. Na stranicama trougla PQR Konstruisati tačku M koja je jednako udaljena od ta...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. Izračunati vrednost izraza A = la+3l + la-3l + la-1l, ako je a = - 10 . 2. Ako je x = -6 izračunaj vrednost izraza (2 lxl + x):3 + lxl + x . 3. Za x = -1 i y = -5 izračunaj vrednost izraza: lx-yl + 2 lyl - (x+y) . 4. Izračunati sumu: l1-2l + l3-4l + l5-6l + ... + l1998-1999l + l1999-2000l. 5. Odrediti odstojanje tačaka A(3), B(-7), C(-2), D(0) od tačke: a) R(0) ; b) Q(-5); c) R(5) . 6. Rešiti jednačine: lxl = 9 ; lxl = 0 ; lxl = - 3 . 7. Rešiti jednačine: lxl - l-5l = -2 ; lx:2l = 1 + l-3l . 8. Odrediti sve tačke koje su od tačke A( 3), B(-5) i C(0) udaljene za 2. 9. Rešiti jednačine: lx-3l = 2 ; lx-1l + 4 = l-3l ; 2lx+2l - 3 = 7 . 10. Rešiti jednačine: 14 - lx +3l = 9 ; lxl + 3 = 5 ; lxl - 12 = 9 . 11. Rešiti nejednačine: lxl 2 ; lxl >= -4 ; lxl 12. Rešiti nejednačine: lx-2l 3 i lx-2l > 3. Napraviti razliku skupova njihovih rešenja. 13. Rešiti nejednačinu 3lx+2l + 23 = ...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. Napisati deset uzastopnih celih brojeva tako da su: a) samo četiri broja pozitivna; b) samo tri broja negativna . 2. Izračunati: a) (-1996) + (-1995) + ... + 1996 + 1997 + 1998; b) (-1994) × (-1993) × ... × 1995 × 1996 × 1997 × 1998 ; 3. Koliko je: a) (-25) + (-24) + ... + 63 + 64 ; b) (-85) + (-84) + ... + 37 + 38 ? 4. Izračunati: a) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... + 1995 - 1996 + 1997 – 1998 ; b)1 - 3 + 5 - 7 + ... + 1993 - 1995 + 1997 - 1999. 5. Rešiti sledeće jednačine: a) (-10) + (-9) + ... + (x-1) + x = -40 (x Î Z) ; b) h + (h+1) + ... + 17 + 18 = 51 (x Î Z). 6. Zbir 111 uzastopnih celih brojeva jednak je 0. O kojim brojevima je reč ? 7. Odrediti 1999 uzastopnih celih brojeva tako da je njihov zbir jednak 1999. 8. Zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva je 25. O kojim brojevima je reč? 9. Odrediti sve uzastopne cele brojeve tako da je njihov zbir -35. 10. Ako je x + y = 0, onda je x - y = 0. Dokazati. 11. Odrediti sve cele brojev...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. Ako je zbir dva spoljašnja ugla trougla 270 o , onda je taj trougao pravougli. Dokazati. 2. Spoljašnji ugao jednakokrakog trougla je 100 o . Izračunati unutrašnje uglove trougla. 3. Ako se spoljašnji ugao kod temena A poveća za 35 o , a spoljašnji ugao kod temena B smanji za 20 o , tada se unutrašnji ugao kod temena C smanji za svoju četvrtinu. Izračunati unutrašnji ugao kod temena C. 4. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla i simetrala spoljašnjeg ugla trougla iz istog temena seku se pod pravim uglom. Dokazati. 5. U trouglu ABC simetrala Ð ACB obrazuje sa stranicom AB ugao od 128 o . Izračunati oštar ugao između prave AB i simetrale spoljašnjeg ugla kod temena C. 6. Simetrale oštrih uglova pravouglog trougla seku se pod uglom od 135 o . Dokazati. 7. U trouglu ABC simetrala spoljašnjeg ugla C i simetrala spoljašnjeg ugla B, seku se u tački M. Izračunati Ð BMC, ako je Ð BAC = 50 o . 8. Izračunati ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, ako se visine koje...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. Dato je 1999 prirodnih brojeva. Dokazati da je bar 1000 datih brojeva iste parnosti. 2. Među 100 proizvoljnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati. 3. Dato je 999 proizvoljnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom. Da li tvrđenje važi za 998 prostih brojeva ? 4. Dokazati da se od proizvoljnih 6 celih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika deljiva sa 5. 5. Stranice i visine trougla AVS na proizvoljan način obojene su plavom ili crvenom bojom. Dokazati da se na tako dobijenoj slici uvek može uočiti trougao čije su sve stranice iste boje. 6. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoje dve tačke iste boje (plave ili bele) čije je rastojanje 1 sm . 7. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoji pravougli trougao čija je hipotenuza 1998 cm i...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. Šta je veće: - 1997/1998 ili - 1998/1999. 2. Odrediti sve razlomke sa jednocifrenim imeniocem od kojih je svaki veći od - 8/9 a manji od - 7/9. 3. Koliko je racionalnih brojeva sa imeniocem 5 većih od -1 a manjih od 1? 4. Šta je veće x ili 1/x ako je x ¹ 0 i x e Z? 5. Mile je otpio 1/6 šolje crne kafe i dolio mleko, zatim je otpio 1/3 šolje i dolio mleko, zatim je otpio 1/2 šolje i dolio mleko. Na kraju je popio celu šolju tečnosti. Cega je popio više: kafe ili mleka ? 6. Razlika dva broja je 13 ,86 . Ako se većem broju pomeri zarez: a) u desno; b) u levo za jedno mesto dobija se manji broj. Koji su to brojevi ? 7. Šta je veće: - 299/999 ili - 2999/ 9999 ? 8. Koliko ima razlomaka sa jednocifrenim imeniocem koji su veći od -1/2, a manji od 1/ 3 ? 9. Odredititi dva racionalna broja čiji je zbir -1/5, a količnik 1/ 5 ? 10. Racionalan broj - 4/7 je nastao skraćivanjem racionalnog broja čiji brojilac i imenilac imaju zbir 885. Odredit...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. Dokazati : a) broj 2 je jedini paran prost broj b) skup svih celih brojeva je beskonačan c) svi prosti brojevi veći od dva su neparni. 2. Skup prostih brojeva je beskonačan. Dokazati. 3. Svi prosti brojevi veći od 2 su oblika 4k - 1 ili 4k + 1. Svi prosti brojevi veći od 3 imaju oblik 6k - 1 ili 6k + 1. Obrnuto ne važi. Dokazati. 4. Odrediti sve proste brojeve r takve da je a) p + 5 prost broj v) 3 p + p 3 prost broj b) p 2 + 9 prost broj g ) p + 2 i p + 4 prosti brojevi. 5. Ako je p prost broj onda je : a) p + 7 složen broj b) p 1995 + p 1996 složen broj v) p 1987 + p 1988 + 1988 složen broj. Dokazati. 6. Ako su p i 8p - 1 prosti brojevi onda je 8p + 1 složen broj. Dokazati. 7. Dokazati da postoji 11 uzastopnih složenih brojeva. 8. Zbir dva prirodna broja je 288 , NZD je 36. Koji su ti brojevi? 9. Postoji li prirodan broj čiji je proizvod cifara 650. Postoji li prirodan broj čiji je zbir cifara 650 ? 10. Odredi najmanji pri...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. U pravouglom trouglu stranica koja leži naspram pravog ugla zove se hipotenuza, a stranice koje se nalaze naspram oštrih uglova su katete. Dokazati da je hipotenuza veća od obe katete pojedinačno, a manja od njihovog zbira. 2. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla. 3. Odrediti sve trouglove čiji je obim 10 cm, a merni brojevi stranica su celi brojevi. 4. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ³ b ³ c, onda je potreban i dovoljan uslov da trougao postoji b + c > a. Dokazati. 5. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina trougla. Dokazati da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme. 6. Simetrale uglova trougla AVS seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla. 7. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je svaki od tih delova manji od susedne str...

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. Ako se dve značajne tačke trougla poklapaju onda je trougao jednakostraničan. Dokazati 2. Dato je pet kolinearnih tačaka i još jedna tačka van te prave. Koliko kružnica određuju te tačke? 3. Dokazati da je centar upisanog kruga u trougao najbliži temenu najvećeg ugla trougla. 4. Dokazati da je težišna duž trougla: a) manja od poluobima trougla ; b) manja od poluzbira susednih stranica. 5. Dve visine trougla nisu manje od odgovarajućih stranica. Izračunati uglove ovog trougla . 6. U ravni su date tačke A ,B,C i D takve da je AB normalna na CD i AC normalna na BD. Dokazati da je AD normalno na BC. 7. U pravouglom trouglu ABC, CD je visina ( ugao ACB je prav). Tačka M je središte duži CD a tačka N središte duži BD. Dokazati da je prava AM normalna na CN . 8. Prave a i b seku se u tački Q koja je 'nedostižna' tačka. Ako je data tačka P odrediti pravu PQ . 9. Izračunati uglove trougla ABC, ako se zna da visina i težisna linija iz temena C d...