MaTeMaTiKa

MaTeMaTiKa Matematika za talentovane učenike i učenike osnovne škole koji vole matematiku ZANIMLJIVA MATEMATIKA 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 +10= 1111111111 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111=123456789 87654321 12345679 x 9 =111111111 12345679 x 18=222222222 12345679 x 27=333333333 12345679 x 36=444444444 12345679 x 45=555555555 12345679 x 54=666666666 12345679 x 63=777777777 12345679 x 72=888888888 12345679 x 81=999999999 ZANIMLJIVA MaTeMaTiKa

ZADACI ZA UVEŽBAVANJE 1. U čaši , balonu i kanti nalaze se : limunada, mleko i voda (u svakom sudu po jedna tečnost ). U kanti nije limunada, a ni mleko. U čaši nije limunada. Koja se tečnost nalazi u kom sudu? 2. Koje su ocene dobili Anka, Branka i Danka ako Anka nema '3', Danka nema '3' i nema '5' , a u odeljenju nema dvojki i jedinica iz matematike. 3. Od tri olovke , jedna je crvena, jedna bela i jedna plava. Označiti olovke sa A, B i C. Koje boje imaju olovke ako je tačno samo jedno od tri tvrđenja. "A je crvena " , "B nije crvena" , "C nije plava". 4. Boris , Dušan , Milica i Višnja su kapiteni sportskih ekipa u svojoj školi. Postavljeno im je pitanje u kojim sportovima se takmiče i oni su dali sledeće izjave : Boris : "Višnjina ekipa igra rukomet , a Milicina košarku". Dušan: "Višnja igra odbojku, a Boris košarku". Milica : "Dušan je kapiten odbojkaša , a Boris rukometaša ". Višn...

Kombinatorika 1. Iz mesta A u mesto B vodi 3 puta, iz mesta B u mesto C 4 puta, a iz mesta S u mesto D 5 puteva. Na koliko se načina može doći: a) iz mesta A u mesto C idući preko mesta B ? b) iz mesta A u mesto D idući preko mesta B i C ? 2.Koliko ima trocifrenih brojeva čija je prva cifra: a) neparna b) parna. Koliko je među tim brojevima onih sa različitim ciframa? 3.Koliko se od slova a, b, c može formirati reči dužine 1, 2, 3 ako se slova u jednoj reči: a) mogu ponavljati b) ne mogu ponavljati. Uopštiti za slučaj n slova od kojih se formiraju reči dužine k. 4. Koliko se različitih prirodnih brojeva može napisati pomoću cifara 0, 1 i 2 ako se svaka cifra može ponoviti najviše dava puta ? 5. Koliko petocifrenih brojeva sa različitim ciframa se može formirati ako su prve dve cifre parne, a poslednje tri neparne? 6. Koliko kolona na tiketu sportske prognoze se mora popuniti da bi se obuhvatile sve kombinacije, ako predviđamo tri fiksna znaka, dva dvoznaka i ostale troznake? 7. Po ras...

Kvadrat racionalnog broja 1.Dokazati tvrđenje (-x)2 = x2 . 2. Da li su tačna tvrđenja: a) Ako je x = y onda je x2 = y2 ; b) Ako je x2 = y2, onda je i x = y ? 3. Dokazati da je za svako racionalno x broj x2 ³ 0 . 4. Ako je x racionalan broj. šta je veće: x ili x2 ? 5. Da li su tačna tvrđenja : Ako je x Ako je x2 > y2 onda je i x > y ? 6. Uporedi po veličini brojeve: a2, |a2| i |a|2 (a je racionalan broj). 7. Kvadrati prirodnih brojeva završavaju se ciframa 1,4,5,6,9 i 0. Dokazati. 8. Postoje li prirodni brojevi x i y takvi da je: a) x2 + 5y = 88888888 ; b) 1998x2 + 5y2 = 123456789 ? 9. Dokazati formule: (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ; (x-y)2 = x2 - 2xy + y2 ; 10. Koristeći gornje formule izračunaj: 142, 992, 10022 . 11. Ako je n paran ceo broj onda je n2 paran prirodan broj. Važi li obrnuto ? 12. Izračunaj koliko je (10n + 5)2 i formuliši odgovarajuće pravilo . 13. Koristeći izvedeno pravilo iz prethodnog zadatka izračunati: 152, 452, 1052....

Stepeni 1. Izračunati: a) 54· 3n-6 + 15×3n-4 - 2n+1× 3n+1 : (2n× 33). 2. Izračunati: a × a2 × a3 ... × a 1995. 3. Dokazati da je 5n + 5n+1 + 5n+2 deljivo sa 155 za svaki prirodan broj n. 4. Šta je veće: a) 3303 ili 2454 ; b) 2 3000 ili 3 2000 ; c) 21988 ili 130284. 5. Odrediti prirodne brojeve m i n tako da važi jednakost: mn + mn+1 + mn+2 + mn+3 + mn+4 = 1984 . 6. Dokazati da je 71995 - 3 deljivo sa 10. 7. Odrediti najmanji prirodan broj n za koji je broj 10n - 1 deljiv sa 369. 8. Dokazati da su brojevi : 11994 + 21994 + 31994 + 41994 i 11995 + 21995 + 31995 + 41995 deljivi sa 10. Da li tvrđenje važi i za broj 11998 + 21998 + 31998 + 41998 ? 9. Ako je p prost broj tada je p1998 - 1 složen broj. Dokazati . 10. Posmatrati niz brojeva 6, 62, 6=... i napisati poslednje četiri cifre ovih brojeva: 0006, 0036, 0216, 1296, ... Dokazati da će se posle izvesnog broja stepenovanja niz od četiri poslednje cifre postati periodičan. 11. Postoji li stepen broja 3 koji se završava ciframa 0001? 12. I...

Polinomi 1. Dokazati identitete: a) (ax+by)2 + (ay-bx)2 = (a2+b2)(x2+y2) ; b) x(y-z) + y(z-x) - z(y-x) = 0 2. Dokazati da se polinom 2x2 + 2y2 može napisati u obliku zbira kvadrata dva binoma. 3. Rastaviti na činioce: a) a2 - 4a + 3 ; b) x2 - 2x - 8 ; c) 2y2 - 5y + 2 . 4. Rastaviti na proste činioce sledeće polinome : a) x2 - 1 - xy + y ; b) a2 - b2 - c2 + 2bc ; c) 2a2 + 2ab + 1/2(b2) . 5. Rastaviti na činioce: a) x4 + 64 ; b) a4 + 4b4 c) ac(a+c) - bc(b+c) + ab(a-b) . 6. Ako je n prirodan broj dokazati da je: a) n3 + 5n deljivo sa 6 ; b) n5 - n deljivo sa 30 ; c) n3 + 2n deljivo sa 3 ; 7. Dokazati da ni za jedan prirodan broj n izraz n2 + n + 2 nije deljiv sa 49. 8. Ako je x ceo broj onda je (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10) + 24 deljivo sa 24. Dokazati. 9. Ako je p prost broj veći od 3, tada je p2 - 1 deljivo sa 24. Dokazati. 10. Odrediti sve proste brojeve p za koje je 2p + p2 takođe prost broj. 11. Rešiti po x i y sledeće jednačine: a) x3 - 12x2 + 35x = 0 ; b) x4 + 9 = 10x2 ; c) x2 + y2 ...

Matematički rebusi 1. Umesto svake zvezdice napisati jednu cifru tako da se oduzimanje ***** - **** = *** bude ispravno, ako se umanjenik, umanjilac i razlika čitaju s leva na desno jednako kao i s desna na levo. 2. Da li rebus *** + *** = *** ima rešenje ako se svaka od cifara 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 može upotrebiti samo jednom? 3. Da li rebus **** - *** = *** ima rešenje ako se svaka od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 može upotrebiti samo jednom? 4. U broju ********** umesto zvezdica rasporediti cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 tako da se svaka cifra upotrebi samo jednom i da dobijeni broj bude deljiv sa 99. Koliko rešenja ima ? Koji je najmanji, a koji najveći takav broj ? 5. Dešifrovati množenje: *4* × 15 = 3*9* . 6. Ako su h i u prirodni brojevi dešifrovati množenje: x × y × 45 = 22** . Koliko ima rešenja? 7. Odrediti sve prirodne brojeve h i u tako da je tačna jednakost x × y × 22 = 3*4* . 8. Koji trocifreni broj ima osobinu da se 6 puta smanji ako mu se izbriše...

Izračunavanje površine ravnih figura 1. Duž AC dužine a je svojom unutrašnjom tačkom B podeljena u odnosu 3 : 2. Nad dužima AB i BC sa raznih strana u odnosu na AC konstruisani su kvadrati ABDE i BCFG. Neka su M i N preseci dijagonala dobijenih kvadrata. Izračunati površinu četvorougla MNCD u funkciji od date duži a. 2. Dijagonale konveksnog četvorougla ABCD seku se u tački O. Dokazati da je proizvod površina trouglova AOB i COD jednak proizvodu površina trouglova BOC i DOA. 3. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA trougla ABC u odnosu: a) 1:1 ; b) 2:1 ; c) m:n. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla MNP? 4. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine P. Neka su K, L, M i N redom središta stranica AB, BC, CD i DA četvorougla. Dokazati da je KLMN paralelogram i izračunati njegovu površinu. 5. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su K, L, M i N redom proizvoljne tačke na stranicama AB, BC, CD i DA tog paralelograma. Dokazati da ako je površina...

Pitagorina teorema - Konstruktivni zadaci 1. Konstruisati kvadrat čija površina jednaka zbiru (razlici) površina dva data kvadrata. 2. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površine tri data kvadrata. 3. Konstruisati jednakostranični trougao čija je površina jednaka razlici površina dva data jednakostranična trougla. 4. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruisati kvadrat koji ima površinu jednaku površini datog pravougaonika. 5. Konstruiši kvadrat čija je površina jednaka površini jednakostraničnog trougla stranice a. 6. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini kvadrata date stranice a. 7. Konstruisati jednakokrako-pravougli trougao čija je površina jednake zbiru površinama dva data: a) jednakokrako- pravougla trougla ; b) kvadrata ; c) jednakostranična trougla. 8. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim...

Pitagorina teorema 1. Dokazati direktnu Pitagorinu teoremu (ako je trougao sa stranicama a £ b c2 ; ako je trougao tupougli, onda je a2 + b2 2. Dokazati obrnutu Pitagorinu teoremu: Ako su a, b i c stranice trougla i ako je a2 + b2 = c2, onda je trougao pravougli. 3. Proverite da li je trougao sa stranicama 29k, 20k i 21k pravougli. 4. Kakav je trougao (oštrougli, pravougli, tupougli) čije su stranice: a) 5, 6 i 7 cm; b) 10, 11 i 15 cm ? 5. Neka je c merni broj hipotenuze i d merni broj zbira kateta a i b pravouglog trougla. Izraziti površinu ovog trougla u funkciji od c i d. 6. U kvadratu ABCD tačka M je središte sranice AB, a N je tačka stranice AD, takve da je AN = 2× ND. Odrediti površinu i obim kvadrata ABCD ako je MN = 1 cm. 7. Stranica AB pravougaonika ABCD je 20 cm, a normalno rastojanje temena B od dijagonale AC je 12 cm. Naći obim i površinu pravougaonika. 8. Dat je pravougli trougao čije katete su 16 cm i 30 cm. Nad hipotenuzom tog trougla kao stra-nicom konstruisan ...

Mnogougao 1. Može li zbir unutrašnjih uglova mnogougla biti: 123456789100° ? 2. Sve stranice datog n-tougla su jednake. Da li je dati n-tougao pravilan ? 3. Svi uglovi datog n-tougla su jednaki. Da li je dati n-tougao pravilan ? 4. Dokazati da je spoljašnji ugao pravilnog mnougla jednak centralnom uglu tog mnogougla 5. Dokazati da je unutrašnji ugao pravilnog n-tougla jednak (n-2)180° /n . 6. Postoji li pravilni mnogougao čiji je unutrašnji ugao jednak: a) 144° ; b) 128° ? 7. Postoji li pravilni mnogougao čiji je spoljašnji ugao jednak: a) 18° ; b) 11° ? 8. Koliko stranica ima mnogougao koji ima 66 dijagonala ? 9. Postoji li n-tougao kod koga je: Broj dijagonala jednak broju stranica ? 10. Ako se broj stranica mnogougla poveća za 27 onda se broj dijagonala poveća za 1998. Koliko dijagonala ima taj mnogougao ? 11. Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za 3 onda se broj njegovih dijagonala poveća dva puta. Koliki je spoljašnji ugao tog mnogougla ? 12. Broj dijagonal...

Polinomi i algebarski razlomci 1. Ako je a ceo broj koji nije deljiv ni sa 2 ni sa 3 onda je broj 4a2 + 3a + 5 deljiv sa 6. Dokazati. 2. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z) . 3. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je: x2 + y2 - 6x - 10y + 33 = 0. 4. Ako je n prirodan broj onda je n3 + 1997n + 1998 deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1998.) 5. Dokazati da je zbir kvadrata pet uzastopnih prirodnih brojeva ne može biti kvadrat nijednog prirodnog broja. (R – 1998.) 6. Dokazati da je 1991×1993×1995×1997 + 16 potpun kvadrat nekog prirodnog broja. Ako je n prirodan broj, da li je (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+3) + 16 takođe potpun kvadrat ? (R – 1997.) 7. Ako je n prirodan broj onda je 11n3 + n deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1997.) 8. Dat je polinom P(x) = x3 + 2x2 – x – 2. Ako je p prost broj, onda je P(p) deljivo sa 24. Dokazati. Odrediti najmanji prost broj p takav da je P(p) deljivo sa 120. (R – 1996.) 9. Dat je polinom P = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx. Odrediti za koje vre...

ZABAVNO - Testiraj svoje reflekse; Vežbaj koncentraciju IGRA je jednostavna - STAVI CURSOR [ miš ] na CRVENO POLJE , KLIKNI I KRENI !!! Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org Igrice za decu - Testiraj svoje reflekse; Vežbaj koncentraciju

IGRICA * igra pamćenja [ 6 X 6 polja ] 18. parova zanimljivih sličica Igrice za decu - Testiraj svoju memoriju * Igra pamćenja Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org

IKS - OKS [u društvu ili sam protiv računara] IGRA JE JEDNOSTAVNA; IKS - OKS , KLIKNI I KRENI !!! Igrice za decu - Popularna igrica IKS - OKS Blog učeničkog web sajta - www.oskosta.org